1. Какая система сил является системой сходящихся сил?

2. Сформулируйте условие равновесия системы сходящихся сил в аналитической и геометрической формах.

3. Сформулируйте правила построения силового многоугольника.

4. Приведите формулу для определения равнодействующей системы сходящихся сил.

5. В каком случае проекция силы равна 0?

6. В каком случае проекция силы положительна?

Практическая работа

Тема: Определение реакций опор для балочных систем

Цель работы: Закрепить теоретические знания и умения определять реакции в опорах балочных систем

Образовательные результаты, соответствующие ФГОС:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ПК 3.1. Конструировать элементы систем водоснабжения и водоотведения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха.

ПК 3.2. Выполнять основы расчета систем водоснабжения и водоотведения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха.

Обучающийся должен знать основные понятия и законы механики твердого тела.

Форма работы - индивидуальная.

Характер работы - частично-поисковый.

Краткие теоретические и справочно-информационные материалы по теме:

Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.

Неизвестные числовые значения реакций опорных устройств балки определяются через систему уравнений равновесия.

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений):

https://pandia.ru/text/80/184/images/image022_18.jpg" width="316" height="43 src=">

Это вторая форма уравнений равновесия.

Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:

https://pandia.ru/text/80/184/images/image024_12.jpg" width="185" height="26 src=">

Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:

https://pandia.ru/text/80/184/images/image026_16.gif" width="58" height="23">или Учебные пособия" href="/text/category/uchebnie_posobiya/" rel="bookmark">учебное пособие / . - 2-е изд. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012.

Проверка знаний и умений (необходимых для выполнения практической работы)

Задание 1.

Задание 2.

1. Заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей и указать точку ее приложения.

2. Освободить балку от связей, заменив их реакциями.

3. Выбрать систему уравнений равновесия.

4. Решить уравнения равновесия.

5. Выполнить проверку решения.

Примеры расчета :

Задание 1. Определить величины реакций в заделке. Провести проверку правильности решения.

https://pandia.ru/text/80/184/images/image032_11.gif" width="247 height=19" height="19">

2. Освобождаем балку АВ от связей, отбрасываем заделку в точке А и заменяем действие заделки возможными реакциями, возникающими в опоре – реактивным моментом МА и составляющими реакциями и . Получили плоскую систему параллельно расположенных сил, значит .

3. Выбираем систему уравнений равновесия:

4. Решение начинаем с крайней левой точки.

https://pandia.ru/text/80/184/images/image038_12.gif" width="205" height="25 src=">

В уравнении учитываем все моменты, которые создаются действующими силами находящимися на расстоянии относительно точки А.(Реакции, находящиеся в точке А, в уравнении не учитываются, так как они не создают плеча с точкой).

https://pandia.ru/text/80/184/images/image041_11.gif" width="516" height="45">

Решение выполнено, верно.

Задание 2. Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.

Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.

Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.

Уметь выполнять проверку правильности решения.

Виды нагрузок и разновидности опор

Виды нагрузок

По способу приложения нагрузки делятся на

· сосредоточенные и

· распределенные.

Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной.

Часто нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.

В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).

q - интенсивность нагрузки; I - длина стержня;

G = ql - равнодействующая распределенной нагрузки.

Разновидности опор балочных систем (см. лекцию 1)

Балка - конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.

Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной.

Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)

Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы Rax и и парой с моментом Mr.

Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений в виде

Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок.

Для контроля правильности решений используют дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например

Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.3)

Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)

Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.

Балка на двух шарнирных опорах (рис. 6.5)

Не известны три силы, две из них - вертикальные, следовательно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:

Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение

При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 6.6):

Примеры решения задач

Пример 1. Одноопорная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.

Решение

2. В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими (R Ay ,R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.

Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.

В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.

3. Используем систему уравнений:

Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.

3. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.

Подставляем значения полученных реакций:

Решение выполнено верно.

Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.

Решение

1. Левая опора (точка А) - подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Правая опора (точка В) - неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Ох совмещаем с продольной осью балки.

2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.

3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:

G = ql; G = 2*6 = 12 кН.

Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее задача решается с сосредоточенными силами (рис. 6.8, б).

4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).

5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде

6. Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:

Реакция отрицательная, следовательно, R А y нужно направить н противоположную сторону.

7. Используя уравнение проекций, получим:

R Bx - горизонтальная реакция в опоре В.

Реакция отрицательна, следовательно, на схеме ее направление будет противоположно выбранному.

8. Проверка правильности решения. Для этого используем четвертое уравнение равновесия

Подставим полученные значения реакций. Если условие выполнено, решение верно:

5,1 - 12 + 34,6 – 25 -0,7 = 0.

Пример 3. Определить опорные реакции балки, показанной на рис. 1.17, а .

Решение

Рассмотрим равновесие балки АВ. Отбросим опорное закрепление (заделку) и заменим его действие реакциями Н А, V A и т А (рис. 1.17, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.

Выбираем систему координат (рис. 1.17,6) и составляем уравнения равновесия:

Составим проверочное уравнение

следовательно, реакции определены верно.

Пример 4. Для заданной балки (рис. 1.18, а ) определить опорные реакции.

Решение

Рассматриваем равновесие балки АВ. Отбрасываем опорные закрепления и заменяем их действие реакциями (рис. 1.18,6). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.

Выбираем систему координат (см. рис. 1.18,6) и составляем уравнения равновесия:

q 1 ,

Расстояние от точки А q 1 (а + b);

Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q 2 ;

Расстояние от точки А до линии действия равнодействующей q 2 (d - с).

Подставив числовые значения, получим

откуда V B = 28,8 кН;

- расстояние от точки В до линии действия равнодействующей q 1 (a+b);

- расстояние от точки В до линии действия равнодействующей q 2 (d - c).

откуда V A = 81,2 кН.

Составляем проверочное уравнение:

Пример 5. Для заданной стержневой системы (рис. 1.19, а ) определить усилия в стержнях.

Решение

Рассмотрим равновесие балки AB, к которой приложены как заданные, так и искомые силы.

На балку действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и сосредоточенный момент т .

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 1.19, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.

Выбираем систему координат (см. рис. 1.19, б ) и составляем уравнения равновесия:

Где q (a + b) - равнодействующая

равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (на чертеже она показана штриховой линией).

Подставив числовые значения, получим:

откуда N AC = 16 кН;

Напомним, что сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю;

где N BD cos α N BD ", N BF cos β - вертикальная составляющая силы N BF (линии действия горизонтальных составляющих сил N BD и N BF проходят через точку А и поэтому их моменты относительно точки А равны нулю). Подставляя числовые значения и учитывая, что N BD = 1,41 N BF , получаем:

откуда N BF = 33,1 кН.

Тогда N BD = 1,41*33,1 = 46,7 кН.

Для определения усилий в стержнях не было использовано уравнение равновесия: ΣP to = 0. Если усилия в стержнях определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на балку, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:

следовательно, усилия в стержнях определены верно.

Пример 6. Для заданной плоской рамы (рис. 1.20, а ) определить опорные реакции

Решение

Освобождаем раму от связей и заменяем их действие реакциями N А, V A , V B (рис. 1.20, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.

Выбираем систему координат (см. рис. 1.20, б ) и составляем уравнения равновесия:

где Р 2 cos α - вертикальная составляющая силы Р 2 ;

P 2 sin α - горизонтальная составляющая силы Р 2 ;

2qa - равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (показана штриховой линией);

откуда V B = 5,27qa;

откуда H A =7qa

линия действия силы Р 2 cosα проходит через точку В и поэтому ее момент относительно точки В равен нулю

откуда V A = 7qa.

Для определения реакций не было использовано уравнение равновесия ΣP iv =0. Если реакции определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на раму, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:

следовательно, опорные реакции определены верно.

Напомним, что сумма проекций сил, составляющих пару с моментом т, на любую ось равна нулю.

Контрольные вопросы и задания

1. Замените распределенную нагрузку сосредоточенной и определите расстояние от точки приложения равнодействующей до опоры А (рис. 6.9).

2. Рассчитайте величину суммарного момента сил системы относительно точки А (рис. 6.10).

3. Какую из форм уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в заделке?

4. Какую форму системы уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?

5. Определите реактивный момент в заделке одноопорной балки, изображенной на схеме (рис. 6.11).

6. Определите вертикальную реакцию в заделке для балки, представленной на рис. 6.11.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ БАЛКИ

Последовательность решения задачи

1. Балку освободить от связей (связи) и их (его) действие заменить силами реакций.

2. Выбрать координатные оси.

3. Составить и решить уравнения равновесия.

Реакции опор можно определить, исходя из трех форм уравнений равновесия:

а)

å F i х = 0;

å F i у = 0 ;

å М А = 0;

б)

å F i х = 0;

å М А = 0;

å М В = 0;

в)

å М А = 0;

å М В = 0;

å М С = 0.

4. Проверить правильность решения задачи. Проверку необходимо производить по тому уравнению равновесия, которое не было использовано при решении данной задачи (задача решена правильно лишь в том случае, если после постановки значений активных и реактивных сил в уравнение равновесия выполняется условие равновесия).

5. Сделать анализ решенной задачи (если при решении задачи реакции опор или реактивный момент получается отрицательным, то их действительное направление противоположно принятому).

Пример 1. Определить реакции опор балки, если известно

F = 2 0 кН, М =10 кН  м, q = 1 кН /м (рис. 1).

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3 . α

F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

F у = F  с os 60  = 20  0,5 = 10 кН ,

Q = q  CD = 1  2 = 2 кН ,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD , в точке К (рис. 2).

Рис. 2 - Схема преобразования заданных активных сил

4.Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат (рис 3).

Рис. 3 - Схема реакций балки

å М А = 0; F у  АВ + M + Q  AK - R Dy  AD = 0 (1)

å М D = 0; R Ay  AD - F у  В D + M - Q  KD = 0 (2)

å F i х = 0; R A х - F х = 0 (3)

6. Определяем реакции опор балок R Ay , R Dy и R A х решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

R Dy = F у  АВ + M + Q  AK / AD = 10  1 + 10 + 2  3 / 4 = 6,5 кН

Из уравнения (2) получаем

R Ay  = F у  В D - M + Q  KD / AD =10  3 - 10 + 2 / 4 = 5,5 кН

Из уравнения (3) получаем

R A х = F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

7 . П

å F i y = 0; R Ay - F у - Q + R Dy = 5,5 - 10 - 2 + 6,5 = 0

Условие равновесия å F i y = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Пример 2. Определить реакции заделки, если известно

F = 2 0 кН, М =10 кН  м, q = 1 кН /м (рис. 4 ).

Рис. 4 - Схема задачи

Решение:

2. Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3 . Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, накопленную к оси балки под углом α , заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими

F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

F у = F  с os 60  = 20  0,5 = 10 кН ,

а равномерно распределенную нагрузку - её равнодействующей

Q = q  CD = 1  2 = 2 кН ,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD , в точке К (рис. 5).

Рис. 5 - Схема преобразования заданных активных сил

4.Освобождаем балку от заделки, заменив её опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат и реактивным моментом (моментом заделки, М 3 )(рис 6).

Рис. 6 - Схема реакций балки

5.Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.

å М А = 0; M 3 + F у  АВ + M + Q  AK = 0 (1)

å М В = 0; M 3 + R Ay  A В + M + Q  В K = 0 (2)

å F i х = 0; R A х - F х = 0 (3)

6. Определяем реакции опор балки R A х , R Ay и момента заделки М 3 решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

M 3 = - F у  АВ - M - Q  AK = - 10  1 - 10 - 2  3 = - 26 кН  м

Из уравнения (2) получаем

R Ay  = - Q  В K - M - M 3 / A В = - 2  2 - 10 -(-26) / 1 = 12 кН

Из уравнения (3) получаем

R A х = F х = F  с os 30  = 20  0,866 = 17, 32 кН

7 . П роверяем правильность найденных результатов:

å F i y = 0; R Ay - F у - Q = 12 - 10 - 2 = 0

Условие равновесия å F i y = 0 выполняется, следовательно, реакции опоры найдены верно.

Задача 1. Определить реакции опор двухопорной балки (рисунок 7). Данные своего варианта взять из таблицы 1

Таблица 1 - Исходные данные

Номер схемы на рисунке 7

Варианты

кH

кH/ м

кH м

Рассмотрен порядок решения задач на определение реакций опор балок. Приводится пример решения задачи и проверка правильности определения реакций. Приводится решение задачи вторым способом.

Содержание

Порядок решения задач на определение реакций опор балок

Выбираем систему координат. Можно ось x направить вдоль балки, ось y - вертикально вверх. Ось z будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Центр системы координат можно выбрать в одной из точек опор балки.
Если есть распределенная нагрузка, то заменяем ее равнодействующей силой. Величина этой силы равна площади эпюры. Точка приложения силы находится в центре тяжести эпюры. Так если нагрузка q равномерно распределена на отрезке AB , то ее равнодействующая имеет величину Q = q·| AB| и приложена посередине отрезка AB .
Составляем уравнения равновесия для действующих сил. В общем случае они имеют вид:
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси координат. Тогда сумма проекций сил на каждую из осей координат равна нулю:
(1) .
Находим проекции сил на оси координат и составляем уравнения (1). Для плоской системы сил, последнее уравнение, с проекциями на ось z , не используется.
Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Сумма моментов сил относительно произвольной оси A′A′′ равна нулю:
(2) .
Чтобы составить это уравнение, мы должны выбрать ось, относительно которой вычисляются моменты. Ось лучше выбрать так, чтобы сделать вычисления более простыми. Чаще всего оси выбирают так, чтобы они проходили через точки опор балки, перпендикулярно плоскости рисунка.
Решаем уравнения и получаем значения реакций опор.
Делаем проверку результата. В качестве проверки можно выбрать какую-нибудь ось, перпендикулярную плоскости рисунка, и относительно нее подсчитать сумму моментов сил, действующих на балку, включая найденные реакции опор. Сумма моментов должна равняться нулю.

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Условие задачи.

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н ; G = 22,6 Н ; q = 2 Н/м ; M = 42,8 Н·м ; a = 1,3 м ; b = 3,9 м ; α = 45° ;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y - вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Силы, действующие на балку.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A , разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция , в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н .
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C - посередине отрезка AD :
AC = CD = b/2 = 1,95 м .

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;
;
;
(П2) .

Уравнения равновесия для моментов

Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.

Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.

Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы , и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
; ; .

Сила перпендикулярна плечу AB . Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A , сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.

Сила перпендикулярна плечу AK . Поскольку, относительно оси A , эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.

Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.

Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A равна нулю:
;

;
;
(П3) .

Решение уравнений равновесия

Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1) .
(П2) .
(П3) .

Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.

Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:

Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A :
Н.

Проверка правильности решения

Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.

Возьмем ось, проходящую через точку E . Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:

.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н . Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм . Мы получили значение -0,03 Нм . Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.

Второй способ решения

Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно - для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.

Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B .
; ; ;
;
;
;
;
.

Сумма моментов сил относительно оси B равна нулю:
;

;
;
(П4) ;

Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1) .
(П3) ;
(П4) .

Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):

Н.

Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).

Балками будем называть прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопротивлении материалов термин «балка» значительно шире, чем в обычном употреблении этого слова: с точки зрения расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является не только строительная балка, но также и вал, болт, ось железнодорожного вагона, зуб шестерни и т. д.

Вначале ограничимся построением эпюр для простейшего случая изгиба балок, при котором все заданные нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой (на рис. 4, а - плоскость П), причем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки. Такой случай будем называть плоским изгибом .

На расчетной схеме балку принято заменять ее осью (рис. 4, б). При этом все нагрузки, естественно, должны

Рис 4 быть приведены к оси балки и силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Как правило, балки имеют опорные устройства - опоры. Для расчета же их схематизируют в виде трех основных типов опор:

а) шарнирно-подвижная опора (рис. 5, а), в которой может возникать только одна составляющая реакции - , направленная вдоль опорного стерженька;

б) шарнирно-неподвижная опора (рис. 5, б), в которой могут возникать две составляющие - вертикальная реакция
и горизонтальная реакция

в) защемление (иначе жесткое защемление или заделка), где могут быть три составляющие - вертикальная
и горизонтальная
реакции и опорный момент Ма (рис. 5, в).

Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А - центре тяжести опорного сечения.

Балка, показанная на рис. 6, с, называется простой , или однопролетной , или двухопорной , а расстояние l между опорами - пролетом .

Консолью называется балка, защемленная одним концом и не имеющая других опор (рис. 4, б), или часть балки, свешивающаяся за опоры (часть ВС на рис. 6, б; части АС и BD на рис. 6, е). Банки, имеющие свешивающиеся части, называют консольными (рис. 6, б, в).

Для плоской системы сил можно составить три уравнения статики для определения неизвестных реакций.

Поэтому балка будет статически определимой, если число неизвестных опорных реакций не превышает трех; в противном случае балка статически неопределима. Очевидно, что балки, изображенные на рис. 4 и 6, статически определимы.

Балка, изображенная на рис. 7, а , называется неразрезной и является статически неопределимой, поскольку имеет пять неизвестных опорных реакций: три в опоре А и по одной в опорах В и С.

Поставив в сечениях балки шарниры, например в точках D и Е (рис. 7, б), получим статически определимую шарнирную балку, ибо каждый такой промежуточный шарнир к трем основным уравнениям статики прибавляет одно дополнительное уравнение: сумма моментов относительно центра шарнира от всех сил, расположенных по одну сторону от него, равна нулю .

Построение эпюр для статически неопределимых балок требует умения вычислять деформации, а поэтому ограничимся пока исключительно статически определимыми балками.

Способы определения опорных реакций изучают в курсе теоретической механики. Поэтому здесь остановимся только на некоторых практических вопросах. Для этого рассмотрим простую балку (рис. 6, а).

1. Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные реакции находят из следующих уравнений равновесия:

а) сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю:
откуда находят

б) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира А равна нулю:
откуда находят
.

в) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира В равна нулю:

откуда находят
.

2. Для контроля можно использовать или условие равенства нулю суммы проекций на вертикаль:

или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-либо точки С, отличной от А и В, т. е.

Условием
пользоваться проще, но оно дает надежную проверку только в тех случаях, когда к балке не приложены сосредоточенные моменты.

3. Перед составлением уравнений равновесия нужно выбрать (вообще говоря, произвольно) направления реакций и изобразить их на рисунке. Если в результате вычислений какая-либо реакция получается отрицательной, нужно изменить на рисунке ее направление на обратное и в дальнейшем считать эту реакцию положительной,

5. Если на балку действует распре деленная нагрузка, то для определения реакций ее заменяют равнодействующей, которая равна площади эпюры нагрузки и приложена в центре тяжести этой эпюры.

Пример 5. Вычислить опорные реакции для балки, показанной на рис. 8.

Прежде всего находим равнодействующие Р 1 и Р 2 нагрузок, распределенных на участках АС н СВ:

;
.