Транспортная модель - это математически приближенное отображение транспортной ситуации на дороге с помощью программных средств. Транспортная модель является математической моделью, то есть обладает достаточно высокой точностью, чтобы реализовывать различные задачи, связанные с прогнозами, оптимизацией и имитацией транспортных потоков. Такая модель может использоваться как инструмент поддержки принятия решений и как хранилище статистической информации о моделируемой транспортной системе.

Транспортные модели бывают имитационные, оптимизационные, прогнозные.

Единицей имитационной модели является транспортное средство, то есть моделирование происходит на уровне единиц транспортных средств, которые могут проехать из одной части города в другую. Микромодели, отображающие микрообъекты сети, относятся к имитационным моделям. Они имитируют ситуацию на отдельном участке сети.

Оптимизационные транспортные модели решают задачу оптимизации, то есть находят оптимум (лучшее решение) транспортной функции с помощью методов математического программирования.

Прогнозные транспортные модели , в отличие от имитационных, отображают транспортную ситуацию на уровне потоков.

Они строятся из транспортного предложения и транспортного спроса моделируемого объекта (города, района, области). Транспортным предложением считается вся транспортная сеть, а также остановки, маршруты и расписание общественного транспорта, а транспортным спросом – потребность людей в перемещениях по транспортной сети.

Транспортная модель города является прогнозной моделью.

При создании транспортной модели города на начальном этапе создается транспортное предложение - строится транспортный граф, который включает в себя транспортные узлы (развязки, кольца, перекрестки) и отрезки между узлами (дороги). После того, как вся транспортная сеть города, включающая правила дорожного движения и полосность дорог, внесена в программный продукт, добавляется информация об общественном транспорте.

Следующим этапом создания транспортного предложения является районирование - разделение транспортной сети на районы. Сеть делится на районы для того, чтобы систематизировать информацию о перемещениях транспортных потоков. В результате проделанных этапов в программном продукте появляется транспортное предложение – каркас, согласно которому перемещаются транспортные средства.

Для построения транспортного спроса собирается различная статистическая информация о транспортных районах, которые являются местами генерации и местами притяжения транспортных потоков. Пример собираемой информации для каждого транспортного района:

• емкость района (население);
• доля работающих;
• доля учащихся;
• количество зарегистрированных автомобильных средств;
• количество рабочих мест;
• количество рабочих мест в сфере услуг;
• количество мест в учебных заведениях;
• и др.

Далее составляются слои спроса - возможные перемещения, например Дом-Работа, Работа-Дом, Дом-Школа, Школа-Дом, Дом-Прочее, Прочее – Дом. Чем больше слоев спроса, тем выше точность модели. Для каждого слоя спроса и для каждого вида транспорта(общественный, индивидуальный) составляется матрица корреспонденции – матрица, содержащая количественные данные о перемещениях людей из района в район. Далее эти матрицы соединяются по каждому виду транспорта. Это и будет являться результатом моделирования транспортного спроса.

Следующий этап построения транспортной модели - совмещение транспортного предложения и транспортного спроса. Ищется точка равновесия, при которой существующее транспортное предложение будет удовлетворять транспортный спрос. При этом учитывается важный принцип: каждое транспортное средство стремится уменьшить время и стоимость своего перемещения.

После того, как транспортные потоки , реализованные в программном средстве, достигнут равновесного положения, становится возможным рассчитать среднюю скорость потоков, количество транспортных средств на каждом участке сети и отметить появление заторов.

Последний этап создания транспортной модели города - ее калибровка . В ходе калибровки, сравниваются значения реальных транспортных потоков города и значения, полученные с помощью моделирования. При существенных различиях значений производится поиск ошибок и их устранение. Эффективность калибровки проверяется с помощью оценок качества модели. Если оценки неудовлетворительные, происходит возврат на этапы моделирования предложения и спроса. Операции построения модели и ее калибровки повторяются до тех пор, пока модель не станет адекватной.

Полученная транспортная модель может использоваться учреждениями города для стратегического планирования, анализа инфраструктурных изменений, оценки качества транспортной системы, хранения и систематизации данных и др.

Создание комплексной транспортной схемы (КТС), программы комплексного развития транспортной инфраструктуры (ПКРТИ), комлексной схемы организации дорожного движения (КСОДД), а также комплексной схемы организации транспортного обслуживания населения общественным транспортом невозможно без наличия транспортной модели.

Основная задача транспортной модели – заглянуть в будущее, но это невозможно без точного отражения современной ситуации. Первым шагом в нашей работе является создание существующей транспортной модели. В соответствии с техническим заданием заказчика модель существующего состояния должна быть подготовлена в трех вариантах: модель утреннего часа пика, модель вечернего часа пика, суточная модель. Разработка модели осуществляется в программном продукте PTV Vision VISUM, что также являлось обязательным требованием заказчика.

Создание транспортного предложения

1. Узлы определяют положение перекрестков и являются начальными и конечными точками перегонов. При создании узлов задается тип регулирования. В транспортной модели г. Тюмени были использованы следующие типы регулирования: помеха справа, светофорное регулирование, уступи дорогу, неизвестный тип регулирования. Также в окне редактирования узла задается геометрия узла, приоритеты движения, а также параметры для всех возможных маневров на данном перекрестке. В данной транспортной модели было создано 7744 узла.

2. Перегоны или отрезки – это объекты транспортного предложения, которые формируют УДС. При формировании перегонов в каждый из них заносятся собственные характеристики. Каждый участок УДС, моделируемый отрезком, имеет два направления движения, на каждом из которых можно разрешить или запретить движение одного или нескольких способов передвижения (легковой, общественный транспорт, пешком, на велосипеде).

Общее количество отрезков УДС в модели г. Тюмени 17274 ед. Суммарная длина УДС при этом 2424 км.

3. Транспортные районы. Примыкания.

Транспортные районы являются начальными и конечными пунктами движения. В моделях граница транспортного района носит лишь декоративный характер, весь транспортный район сведен к центру тяжести, который с помощью примыканий связан с УДС. Территория г. Тюмени и прилегающая территория Тюменского района были разбиты на 400 транспортных районов. В каждый транспортный район, исключая районы кордоны, были внесены данные о населении. В транспортной модели г. Тюмени было создано 2422 примыканий. Каждый объект содержит информацию о затратах времени на доступ от центра тяжести до УДС и обратно для различных систем транспорта. Затраты времени на примыкании для индивидуального транспорта учитывают пешеходный подход к автомобилю, начало движения и время поездки. Для пассажиров общественного транспорта затраты времени на примыкании учитывают пешеходный путь.

4. Общественный транспорт.

Первым этапом введения общественного транспорта в модель является создание остановок. В программном продукте PTV VISUM остановки создаются иерархической системой Остановка - Зона остановки - Пункт остановки.

«Пункт остановки» – занимает низшие место в этой иерархии и обозначает непосредственно площадку для посадки/высадки пассажиров.

«Зона остановки» может объединять несколько пунктов остановки для различных видов транспорта. Но в модели современного состояния г. Тюмени не встречаются различные виды транспорта в пределах одной остановки. «Остановка» же объединяет в себе зоны и пункты остановок.

В процессе работы было создано 617 остановок, 996 зон и пунктов остановок.

Следующим этапом является создание маршрутной сети. Каждый маршрут, созданный в транспортной сети, содержит минимум два варианта маршрута: прямое и обратное направления. Для каждого варианта маршрута заносятся данные о количестве подвижного состава и интервалах движения между транспортными средствами в утреннее и вечернее время. В транспортной модели были отражены маршруты общественного транспорта, осуществляющие пассажирские перевозки в зимнее время (88 маршрутов).

Создание модели транспортного спроса

Модель транспортного спроса транспортной модели современной транспортной инфраструктуры г. Тюмени имеет три составляющих:

• модель оценки спроса на городские передвижения (исключая грузовое движение);
• модель оценки спроса на передвижения из внешних районов-кордонов в сторону города и наоборот – со стороны города в сторону внешних районов-кордонов;
• модель оценки спроса на городские грузовые передвижения.

Основой модели спроса на городские передвижения является 4-х ступенчатая модель:

1. Генерация спроса
2. Распределение спроса
3. Выбор режима
4. Перераспределение

Модель включает:

– оценку суммарных объемов корреспонденций, зарождающихся и поглощающихся в транспортном районе (1-ая ступень);

– распределение корреспонденций между расчетными районами (2-ая ступень);

– распределение корреспонденций между способами передвижения (3-ая ступень);

– распределение корреспонденций по вариантам маршрутов движения (4-ая ступень).

Выполнение расчетов на ступенях 2 – 4 повторяется на нескольких итерациях.

На 1-й ступени оцениваются количество передвижений, начинающихся из каждого транспортного района и заканчивающихся в другом транспортном районе с различными целями поездки. Каждая цель поездки описывается слоем спроса. В настоящей работе было выделено 19 слоев спроса:

Настройка параметров процедуры оценки суммарных объемов корреспонденций выполнялась с учетом коэффициентов создания корреспонденций по каждому слою спроса, которые были получены по результатам анкетирования жителей путем деления количества зафиксированных передвижений данного слоя спроса на общее количество опрошенных респондентов.

Важным является выбор условия, по которому будет выполнятся нормирование сумм зарождающихся и поглощающихся корреспонденций. Например, для слоя спроса Дом-Работа определяющим будет количество трудящихся в расчетном транспортном районе и количество передвижений Дом-Работа, приходящихся на одного трудящегося в утренний час пик. В связи с этим, независимо от того, какое суммарное количество мест приложения труда во всех расчетных районах города, нормирование суммы всех передвижений будет выполнено по зарождающимся корреспонденциям (сумма объема транспортного потока из источника).

Реализация 2-ой ступени модели спроса требует предварительного расчета матриц затрат с последующим вычислением вероятностей передвижений между отдельными парами расчетных транспортных районов по каждому способу передвижения (режиму). В настоящей работе для моделирования городских передвижений используется четыре способа передвижения:

• на индивидуальном транспорте;
• на общественном транспорте;
• пешком;
• на велосипеде.

Расчет матриц затрат для всех способов передвижений выполняется по маршрутам, обладающим наименьшей обобщенной стоимостью передвижения (обобщенная стоимость передвижения в модели выражается временем).

Расчет матрицы затрат для передвижений на велосипеде выполняется с учетом закладываемых изначально некомфортных условий движения (за исключением участков, где уже имеются обустроенные велодорожки) с тем, чтобы обеспечить низкую привлекательность велосипеда, соответствующую реальному распределению передвижений по способам (по исходным данным, полученным в результате анкетных обследований).

Расчет матрицы затрат для передвижений на индивидуальном транспорте реализован следующими способами в программе VISUM:

Расчет дополнительных затрат времени на отрезках на основе значений пропускной способности и CR-функции, учитывающей рост транспортных задержек с ростом уровня загрузки перегона (отрезка);

Расчет дополнительных затрат времени был детализирован с учетом загрузки всех элементов УДС в модели (отрезки, повороты, примыкания);

Расчет дополнительных затрат времени с учетом специальной расчетной процедуры, учитывающей современные методики расчета транспортных задержек на перекрестках. На нерегулируемых перекрестках все транспортные потоки были разделены на 4 ранга в зависимости от главного направления на данном пересечении. Далее были рассчитаны дополнительные затраты каждого направления в зависимости от ранга и интенсивности движения направления. Для регулируемых перекрестков была использована стандартная CR-функция (функция ограничения пропускной способности).

Расчет матрицы затрат для передвижений на общественном транспорте выполняется на основе корректировки профиля времени движения на маршруте, по значениям рассчитанных затрат времени на отрезках и поворотах для индивидуального транспорта (кроме участков с организацией приоритетного движения общественного транспорта, когда затраты времени принимаются из расчета установленной скорости движения общественного транспорта для данного типа отрезка).

Расчет вероятностей передвижений между отдельными парами расчетных транспортных районов по каждому способу передвижения (режиму) выполняется на основе функции EVA (Erzeugung-Verteilung-Aufteilung – зарождение-разделение-распределение транспортных потоков), которая обладает лучшими свойствами эластичности в сравнении с экспоненциальной и другими функциями.

Реализация 3-ой ступени модели спроса осуществляется на основе стандартной процедуры VISUM выбор режима. Матрицы корреспонденций по каждому слою спроса разделяются по режимам движения (легковой транспорт, общественный транспорт, велосипед, пешком).

Реализация 4-ой ступени модели спроса осуществляется на основе стандартных процедур программы VISUM:

Перераспределение ИТ (равновесное перераспределение);

Перераспределение ОТ (перераспределение по интервалам движения транспортных средств на маршруте общественного транспорта).

Структура модели оценки спроса на передвижения из внешних районов-кордонов в сторону города и наоборот – со стороны города в сторону внешних районов-кордонов

Модель оценки спроса передвижений из внешних районов (и в сторону внешних районов) отличается от вышеописанной модели внутригородских передвижений, т.к. в ней отсутствует третья ступень (разделение по способам передвижения). Эта особенность объясняется тем, что в основу исходных данных закладываются значения интенсивностей движения на выездах из города, которые в модели относятся к способу передвижения на индивидуальном транспорте. Реализация 2-ой и 4-ой ступеней для рассматриваемой модели спроса осуществляется аналогично модели спроса для внутригородских передвижений.

Структура модели оценки спроса на городские грузовые передвижения

Модель оценки спроса на городские грузовые передвижения основана на подходе прогнозирования суммарных объемов корреспонденций (1-ая ступень), используя регрессионные модели (линейная зависимость). Параметры данных моделей (для въезжающих и выезжающих грузопотоков) получены по результатам наблюдений за грузопотоками на границах укрупненных транспортных районов города, количество и границы которых специально определялись с учетом возможности отслеживания грузопотоков, исключая при этом вероятность ошибки замеров, связанных с наложением транзитных (проходящих мимо рассматриваемых специальных укрупненных транспортных районов) грузопотоков в рассмотренных сечениях.

Реализация 2-ой ступни для рассматриваемой модели спроса осуществляется без учета влияния дальности передвижения на вероятность передвижения между расчетными транспортными районами. Такой подход объясняется предположением отсутствия влияния удаленности грузополучателя от грузоотправителя на вероятность грузовой корреспонденции в масштабах города.

Реализация 3-ей и 4-ой ступней для рассматриваемой модели спроса осуществляется аналогично модели спроса для передвижений из внешних районов.

Суточная модель буднего дня

Оценка транспортного спроса для всех передвижений за сутки определяется на основе оценки суточных объемов передвижений между расчетными транспортными районами.

Основными особенностями модели суток являются следующие:

Отмена коэффициентов часовой неравномерности в отличие от оценок спроса для пиковых периодов;

Изменение в процедуре оценки суммарных объемов корреспонденций по данным для утреннего и вечернего часов пик в модели оценки спроса на передвижения из внешних районов-кордонов в сторону города и наоборот – со стороны города в сторону внешних районов-кордонов (создаются дополнительные слои спроса и рассматриваются возвратные передвижения для утренних пар источник-цель) с учетом коэффициентов перевода утренних и вечерних потоков (11,5/2 и 10,5/2 соответственно для утра и вечера) до уровня половины суточных потоков;

Применение коэффициента увеличения матрицы грузовых корреспонденций на основе половины суммы коэффициентов суточной неравномерности грузовых потоков для утреннего и вечернего часов «пик»;

Калибровка транспортной модели

Калибровка модели оценки спроса для утреннего и вечернего часа пик выполняется в следующей последовательности:

Начальное распределение грузовых потоков;

Калибровка распределения грузовых потоков с учетом замеров в контрольных точках;

Начальное распределение городских и внегородских транспортных потоков между способами передвижения, включая калибровку значений затрат времени для поворотных потоков на регулируемых и нерегулируемых пересечениях;

Калибровка распределения транспортных потоков по сети с учетом замеров в контрольных точках;

Калибровка распределения пассажирских потоков по сети с учетом замеров количества пассажиров, перевезенных на маршрутах общественного транспорта;

Повторное общее распределение грузовых и пассажирских потоков.

В результате калибровки транспортной модели был достигнут коэффициент корреляции оцениваемых и измеренных значений интенсивностей движения транспорта более 0,85.

Разработанная транспортная модель полностью соответствует требованиям технического задания:

– в части размера модели (количество узлов, отрезков, транспортных районов, остановочных пунктов. маршрутов),

– в части детализации модели транспортного спроса (количество систем транспорта, количество слоев спроса),

– в части показателей качества модели (количество мест подсчета интенсивности движения индивидуального транспорта, количество мест подсчета пассажиропотока, коэффициент корреляции).

Для решения серьезных транспортных задач, будь то реконструкция вылетных магистралей или создание сети выделенных полос для общественного транспорта, в крупных городах используются транспортные модели этих городов и их пригородов. В правительстве Москвы при принятии управленческих решений тоже используются специальные математические модели. Я о них ничего не знаю, кроме того, что они есть. Но что мне известно наверняка, это то, что модели воспроизводящие ситуацию в Москве с высокой точностью есть в научных лабораториях и я каждый день работаю с одной из них. С помощью такой модели можно, исходя из текущих реалий, оценить будущую загрузку проектируемой дороги, результаты изменения маршрутов общественного транспорта, востребованность прокладки новых трамвайных путей или веток метрополитена.

Предела совершенству, как известно, нет, поэтому наша модель проходит непрерывные циклы улучшения, как в плане принципов математической модели, так и в плане структуры и качества исходных данных. В этой статья я хочу рассказать об исходных данных и как мы их собираем.
Начать, наверно, следует с описания, где же эта модель создается, что это такое и в чем состоят улучшения модели.

Наша лаборатория со сложным названием «Когнитивные методы анализа данных и моделирования» является подразделением Института системного анализа Российской академии наук. Одной из задач лаборатории является создание математической модели прогноза автомобильных и пассажирских потоков в транспортных сетях. Вот такая модель и была создана моим научным руководителем Швецовым В.И. и его коллегами в 1999 году и успешно использовалась в нескольких регионах нашей необъятной родины.

Что такое транспортная модель и моделирование транспортных потоков? Строго говоря, такого понятия как «транспортная модель» не существует, но, тем не менее, этот термин часто употребляется в кругах так или иначе связанных с транспортным моделированием. На деле, разные разработчики вкладывают отличающиеся понятия транспортной модели. Это как слово break в спорте – значение зависит от вида спорта.

Мы под транспортной моделью понимаем модель загрузки транспортной сети, то есть математический инструмент, предназначенный для моделирования транспортных потоков и служащая для их прогноза в транспортных сетях. Говоря транспортная сеть, мы подразумеваем улицы, дороги, линии внеуличного транспорта (метро, монорельс, трамвай), а также маршруты общественного транспорта.

Транспортная сеть Москвы и области
Тогда возникают вопросы: «отлично, вы придумали формулы и алгоритмы чтобы описать поведения участника движения, но откуда вы знаете сколько их и куда они едут?» или «Ну хорошо, вы все знаете куда кто едет, но почему вы считаете, что можете прогнозировать какая будет загрузка проектируемой дороги?» И тут начинается самое интересное.

На деле, вся математика известна с пятидесятых годов, когда различные физические методы (течение жидкости, вероятностные подходы и теория энтропии, законы притяжения масс или заряженных частиц) начали применяться для планирования развития транспортной инфраструктуры и частности для моделирования транспортных потоков. А вот с исходными данным есть сложности, и в их фактической доступности, и в их качестве, то есть надежности, достоверности и репрезентативности. Тут нужно сделать оговорку, чтобы исключить возможное непонимание в дальнейшем повествовании. Исходные данные для микромодлей и макромоделий существенно отличаются.

Исходные данные для микромоделей это частота расположения светофоров, время между переключением сигналов светофоров (точнее, важным является отношения времени разрешающего ко времени запрещающих сигналов), наличие «зеленой волны», пешеходных переходов и др.
Для описания транспортных потоков в масштабах города используются макромодели – именно такую модель разработала наша лаборатория. Макромодели сами делятся на статические, динамические, имитационные, прогнозные, оптимизационные и др. для которых важны такие параметры как:
общее чисто мест отправления и мест прибытия,
чисто мест отправления и прибытия в каждом условном районе
сеть (улично-дорожная сеть, внеуличная сеть, маршруты пассажирского транспорта)

Грубо говоря, этого бы хватило для описания транспортной сети и построения на ней математической модели. Но не тут-то было. Кончено, нужны фактические данные загрузки сети, чтобы проверить адекватность модели. То есть нам должно быть известно не только, сколько людей въехало и выехало из условного района, а сколько из них передвигалось на общественном транспорте, сколько на личном автомобиле и сколько вообще по данной конкретной дороге.

Когда эти данные есть, становится важным добиться максимальной точности модели по среднему количеству участников движения в определенные промежутки времени (например, для периодов: утренний час-пик, день и вечерний час-пик) по всем видам передвижения (общественный транспорт подземный, надземный городской/пригородный и личный автомобиль). Поэтому делают почасовые замеры интенсивности движения на дорогах, то есть количество единиц транспорта в единицу времени и измеряют среднюю скорость их движения, считают входы и выходы в метро, вокзалах и остановках пригородного транспорта.

Вы наверно утром видели людей в синей форме и планшетами в руках на входе в вестибюль метро, которые не безбилетников ловят, а что-то иногда записывают в свои планшеты. Они считаю пассажиропоток. И не смотря на все меры автоматизации, такие исследования все еще проводятся. Хотя пассажиропоток в метро и в пригородных электричках – самый хорошо изученный для транспортной инфраструктуры Москвы со множеством средств автоматического измерения пассажиропотока. Суммарный поток можно получить по числу проданных билетов, данных с турникетов на входе и выходе и специальных детекторов.

Вернемся к моделированию потоков. Модель загрузки транспортной сети требует большого количества исходных данных, получение которых является основной трудностью при разработке модели.
Мы разделяем три группы исходных данных:
Характеристики транспортной сети (количество полос и качество улиц и дорог, организация движения, маршруты и провозные способности общественного транспорта и др.)
Размещение объектов, порождающих передвижения (места проживания, места приложения труда, культурно-бытового обслуживания и др.)
Поведенческие факторы (подвижность населения, предпочтения при выборе способов и маршрутов передвижений и др.)

Характеристики транспортной сети и размещение объектов, порождающих передвижения выявляются по средствам изучения генерального плана Москвы (см. сайт городского портала, справа будут Книга 1, Книга 2, Книга 3 – ) или путем прямых замеров (замеры, обычно, происходят тоже не поднимаясь с рабочего места, например через сервис народная карта яндекс карт)

Поведенческие факторы обычно откуда-то берутся, то есть говорят, исторически сложилось, что в среднем человек совершает столько-то поездок в день, или чувствительность по цене (грубо говоря, по времени в пути) по поездкам с такой целью такая-то. Или другой пример слабо, но связанный с поведенческими факторами – это среднее количество людей в одном автомобиле. Почему на 1000 автомобилей приходится 1300 пассажиров включая водителей никто не знает. Но, конечно, проводились исследования, и есть показатели европейских городов, но мы пытаемся время от времени пересматривать эти показатели. Это нужно делать, потому что они меняются и во времени (например, очевидно нельзя опираться на транспортные показатели советской эпохи) и относительно города/страны (высокоточные значения параметров в Германии или Голландии не могут быть применены в Москве, но могут выступать в качестве ориентиров).

Пробел в исходных данных о подвижности населения можно восполнить опросами населения о совершаемых передвижениях. В первую очередь необходимо выяснить, с какими целями люди совершают свои передвижения. Далее предполагается получить ответы на следующие вопросы:
В какое время люди совершают поездки с определенными целями?
Какие виды транспорта они при этом используют?
Какова дальность и длительность таких поездок?

Сейчас наша лаборатория проводит короткий опрос граждан совершающих поездки по Москве, в котором мы просим ответить два вопроса: о целях передвижения и о количестве передвижений для каждого выхода из дома (если выходов больше двух). Кроме того мы просим указать возраст респондента чтобы определить какие возрастные группы нам удалось охватить, а какие нет. Данные по возрастной группе будут считаться «хорошими», если мы будет наблюдать устойчивую картинку распределения результатов с увеличением числа ответов этой возрастной группой. Другими словами, мы увидели какое-то распределения передвижений по целям людей в возрасте 25-35 лет, и после ответа еще 100 респондентов из этой возрастной группы распределение не изменилось, и после ответа еще 100 респондентов тоже. И так для каждой возрастной группы. Так мы хотим решить сразу два задачи: первая практическая – уточнение распределения передвижений по целям и вторая стратегическая – мы хотим понять как современные средства связи могу помочь в сборе такого рода данных. Потому что опросы, это тоже не тривиальная процедура получения данных.

После того как мы убедимся в правдоподобности полученных результатов мы запустим очередной опрос уже с большим количеством вопросов и позволяющий тоньше настроить нашу модель. А почему, спросите вы, так важно знать цели, с которыми люди совершают свои передвижения?

Потому в зависимости от цели у людей различаются стратегии их достижения. Самый простой пример, это то, как вы выбираете где купить хлеб, скорее всего вы не изменяете своего маршрута и покупаете его по пути домой. Когда же ваша цель поехать на работу – если вы уже работаете, то скорее всего (если вы не курьер и т.п.) все ясно куда ехать, но если вы ищете работу, то, наверняка, время в пути будет для вас не определяющим фактором. Тем не менее из двух похожих предложений, у одного из которых явное преимущество по расположению, вы выберите его. То есть с магазином, можно сказать, полная свобода выбора, с местом работы временная дальность отходит на второй план. Чтобы ярче проиллюстрировать наличие зависимости готовности провести время в дороге от цели, с которой нужно ехать, приведу третий пример: это вылет в другой города из аэропорта. В такой ситуации навряд ли у вас вообще есть выбор, в какой аэропорт ехать. Ответ прост, откуда рейс в тот и ехать. Временная дальность тут не играет, практически, ни какой роли.

Получается, что участники движения, двигаясь с разными целям будут по-разному строить свою стратегию передвижения. Поэтому функция описывающая силу притяжения каждого объекта удовлетворяющего какую-то цель должна быть разной. То есть ее коэффициенты будут разными, а вид функции, скорее всего, будет один и тот же. Я пишу скорее всего, потому что целей очень много и возможно существуют какие-то артефакты. Если вы пройдете опрос о ваших целях передвижения в ближайший будний день, то увидите, по окончании статистику, которая показывает сколько людей из общего числа ездят или ходят привести увести ребенка, пользуются услугами гос. органов, ходят в театры, музее (любой досуг) и другие развлечения, уезжают на дачу – стратегии достижения этих целей отличаются, поэтому нам важно разобраться в какой пропорции люди ставят перед собой (или перед ними ставят) те или иные цели.

2. Распределение передвижений по целям
Кроме того, цели передвижений – это практически единственное, что нельзя померить детекторами. Можно поставить на каждой улице детекторы и ответить на вопрос: сколько единиц автотранспорта проехало по каждой полосе, с какой средней скоростью, каковы размеры эти транспортных средств, распределение этих значений по часам и еще что-нибудь, но с какой целью эти товарищи передвигаются, ответить не получится. Это еще одна причина, почему мы решили проводить опросы самостоятельно.

Итак, имея устойчивое распределение передвижений по целям, например такое (а оно наблюдается у нас последние две недели, это около 300 респондентов):

Мы расщепляем полученную статистику по возрастному составу и проверяем устойчивость распределения уже внутри данной возрастной группы. Если эти расщепленные распределения кажутся нам правдоподобными и репрезентативными (то есть, они устойчивы к росту числа респондентов и правдоподобны с учетом статистической погрешности), то опрос принимается успешным и может быть закрыт. Но закрывать мы его, скорее всего, не будем, так как вреда он него нет, а польза от расширения статистки очевидна. Для получения данных о других поведенческих факторах планируется провести дополнительные опросы и добиться их репрезентативности.

В заключении хотелось бы подытожить, что, несмотря на то, что математический аппарат расчетов транспортных моделей известен уже давно, инженеры все еще сталкиваются со сложностями создания адекватных и репрезентативных моделей. Одним из ключевых факторов этого является отсутствие достоверных исходных данных. Часть исходных данных, таких как поведенческие факторы, невозможно получить исходя из документов определяющих развитие городов, и для их нахождения используются прямые замеры или опросы участников транспортной системы. Пример, такого исследования это опрос о целях передвижения граждан по Москве.

Собственно все.

В настоящее время для оценки качества нашей модели и ее улучшения мы используем данные об объемах входа и выхода пассажиров на станциях метрополитена. Эти данные, однако, не дают полной картины пассажиропотоков в метро. Для ее воспроизведения также возможно проведение опроса: респондент в таком случае указывает начальную и конечную станции совершаемых им поездок. Для оценки фактических корреспонденций между любыми двумя станциями в таком случае потребуется очень большое число опрошенных, однако для оценки средней дальности совершаемых поездок подобный опрос вполне пригоден.

P.S. Если вы хотите принять участие в опросе.

Среди задач линейной оптимизации могут быть выделены два класса задач со специальной структурой:

транспортная задача

задача о назначениях.

Эти задачи используются для моделирования оптимизации экономических проблем, связанных с формированием оптимального плана перевозок, оптимального распределения индивидуальных контрактов на транспортировки, составления оптимального штатного расписания, определения оптимальной специализации предприятий, рабочих участков и станков, оптимального назначения кандидатов на работы, оптимального использования торговых агентов. Критерием эффективности в данных задачах является линейная функция, ограничения также линейны, поэтому для их решения могут применяться методы линейной оптимизации, например симплекс-метод. Однако специальная структура таких задач позволяет разработать более удобные методы их решения. Некоторые из таких методов приведены этой книге. Даны общая формулировка задач, основные термины и определения, этапы построения математических моделей, этапы получения оптимальных решений. Также приведены числовые примеры экономических задач, которые могут быть решены этими методами.

Построим транспортную модель для конкретной задачи.

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют некоторое сырье. Спрос на сырье каждого из предприятий соответственно составляет: 120, 50, 190 и 110 усл. ед. Сырье сосредоточено в трех местах.

Предложения поставщиков сырья равны: 160, 140 и 170 усл. ед. На каждое предприятие сырье может завозиться от любого поставщика. Тарифы перевозок известны и задаются матрицей

В i -й строке j -м столбце матрицы С стоит тариф на перевозку сырья от i -гo поставщика j -му потребителю, i=1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4. Под тарифом понимается стоимость перевозки единицы сырья.

Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость перевозок минимальна.

Построение математической модели

Цель задачи состоит в минимизации суммарной стоимости на перевозки. Эта цель может быть достигнута с помощью оптимальной организации перевозок сырья. Следовательно, за неизвестные можно принять количество сырья, перевозимого от каждого поставщика каждому потребителю.

Пусть хij - количество сырья, перевозимого от i -го поставщика j-му потребителю. Параметры задачи - число поставщиков и потребителей, предложение и спрос сырья в каждом пункте, тарифы на перевозки.

Ограничения задачи - это ограничения на предложение и спрос сырья. Предложения сырья всех поставщиков не должны быть меньше суммарного спроса на него во всех пунктах потребления. В данной задаче имеет место точное равенство между предложением и спросом. 120+50+190+110=160+140+170=470.

Количество сырья, вывозимого от каждого поставщика, должно быть равно наличному количеству сырья. Количество сырья, доставленное каждому потребителю, должно равняться его спросу. Последнее ограничение - условие неотрицательности хij.

Критерием эффективности (целевой функцией) являются суммарные затраты S на перевозку, равные сумме произведений тарифов на перевозку на количество перевозимого сырья от каждого поставщика каждому потребителю.

Окончательно математическая модель задачи имеет вид

Целевая функция и ограничения линейны, т.е. данная задача относится к задачам линейного программирования, однако, благодаря особой структуре, эта задача получила специальное название: транспортная задача или транспортная модель.

Определение начального плана транспортировок. Метод "северо-западного" угла

Рассмотрим метод "северо-западного" угла.

Метод "северо-западного" угла

Шаг 1. Составляют транспортную таблицу.

Шаг 2. Транспортную таблицу начинают заполнять с левого верхнего (северо-западного) угла. При заполнении двигаются по строке вправо и по столбцу вниз. В клетку, находящуюся на пересечении первой строки и первого столбца, помещается максимально возможное число единиц продукции, разрешенное ограничениями на предложение и спрос:

Если а1 < b2, то х11 = a1 и предложение первого поставщика полностью исчерпано. Первая строка вычеркивается, и двигаются по столбцу вниз. В клетку, находящуюся на пересечении первого столбца и второй строки, помещается максимально возможное число единиц продукции, разрешенное ограничениями на предложение и спрос: х21 == min(a2,b1-a1). Если b1-a1

Определить начальное решение по методу "северо-западного" угла для транспортной задачи из примера 1.

Транспортная таблица имеет следующий вид (табл. 3.1):

Таблица 3.1

В первую клетку помещают: х11 = min(160,120) = 120. Спрос первого потребителя полностью удовлетворен, первый столбец вычеркивают. Остаток сырья в первом пункте составляет: 160 - 120=40 усл. ед. Двигаемся по первой строке вправо х21 =min(160 -120,50) = 40. Предложение поставщика исчерпано, первая строка вычеркивается. Второму потребителю не хватает 50-40=10 усл. ед. Двигаемся по второму столбцу вниз х22 =min(140,50 - 40) = 10; Второй столбец вычеркивается. Двигаемся по второй строке вправо х23 = min(140 -10,90) = 130. Вторая строка вычеркивается. Двигаемся по третьему столбцу вниз x33 = min(170,190 -130) = 60. Спрос третьего потребителя удовлетворен. Двигаемся по третьей строке вправо х34 = min(170 -160, 10) = 110. Таблица заполнена. Число ненулевых значений xij,

транспортная математическая модель метод угол

равно 6. Число базисных переменных задачи 3+4 -1=6. Остальные 3*4-6=6 переменных являются свободными, их значения равны нулю.

Начальный план перевозок имеет вид

Стоимость перевозок по этому плану составляет

S1= 120*7+40*8+10*5+130*9+60*3+110*6=3220.

Метод "северо-западного" угла -- наиболее простой метод нахождения начального решения. План перевозок, полученный по этому методу, обычно бывает достаточно далек от оптимального.

Модели транспортной задачи

Модель, в которой спрос и производство равны, называется закрытой (сбалансированной).

Если баланс производства и потребления нарушен, т.е. часть произведенного продукта не вывозится а i > b j , модель транспортной задачи будет открытой. Для решения открытой модели приведем ее к виду закрытой, введя фиктивный пункт потребления. Его потребность в произведенной продукции будет равна: b m+1 = а i - b j . В случае, когда спрос превышает мощность пунктов-изготовителей, также имеем вариант открытой модели. Подход к ее решению аналогичен ранее приведенному: открытую модель сводим к закрытой, вводя соответственно фиктивного поставщика. В связи с нарушением баланса спроса и предложения изменяются и ограничительные условия: предложение больше спроса - условия х ij а i , в противном случае х ij b j .

Удовлетворение критериального условия - минимизация транспортных расходов - возможно только при учете реальных затрат, связанных с поставкой продукции реальным потребителям. Это необходимо иметь в виду, чтобы в процессе решения задачи блокировать прикрепление к фиктивному потребителю реальных поставщиков.

Методы решения транспортных задач

Решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного плана. Наиболее простой способ его нахождения основывается на так называемом методе северо-западного угла. Суть метода состоит в последовательном распределении всех запасов, имеющихся в первом, втором и т.д. пунктах производства, по первому, второму и т.д. пунктам потребления. Каждый шаг распределения сводится к попытке полного исчерпания запасов в очередном пункте производства или к попытке полного удовлетворения потребностей в очередном пункте потребления. На каждом шаге q величины текущих нераспределенных запасов обозначаются a i (q) , а текущих неудовлетворенных потребностей - b j (q) . Построение допустимого начального плана, согласно методу северо-западного угла, начинается с левого верхнего угла транспортной таблицы, при этом полагаем a i (0) = a i , b j (0) = b j . Для очередной клетки, расположенной в строке i и столбце j, рассматриваются значения нераспределенного запаса в i-ом пункте производства и неудовлетворенной потребности j-ом пункте потребления, из них выбирается минимальное и назначается в качестве объема перевозки между данными пунктами: х i,j = min {a i (q) , b j (q) }. После этого значения нераспределенного запаса и неудовлетворенной потребности в соответствующих пунктах уменьшаются на данную величину:

a i (q+1) = a i (q) - x i,j , b j (q+1) = b j (q) - x i,j .

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: a i (q+1) =0 или b j (q+1) =0. Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i+1, т.е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же b j (q+1) =0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j-го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей (a i = b j), нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1, поэтому всегда останутся свободными (нулевыми) mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (a i (q) = b j (q)). В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

Особенностью допустимого плана, построенного методом северо-западного угла, является то, что целевая функция на нем принимает значение, как правило, далекое от оптимального. Это происходит потому, что при его построении никак не учитываются значения c i,j . В связи с этим на практике для получения исходного плана используется другой способ - метод минимального элемента, в котором при распределении объемов перевозок в первую очередь занимаются клетки с наименьшими ценами.

Поскольку в правиле ”северо-западного угла“ значение Cij не учитывается, нельзя ожидать, что при вычислении исходного плана по этому правилу соответствующее значение линейной формы будет близким к минимальному.

1. Правило минимума по строке. Пусть минимальным элементом первой строки будет C1k (если минимальных элементов имеется более одного, то выбираем элемент с наименьшим индексом j).Предположим X1k= a, если a1<=bk; x1k=bk, если a1>bk. В первом случае полагают Xik=0 для i = k и переходят ко второй строке, заменяя bk наbk-a1. После этого находят минимальный элемент второй строки и повторяют процесс. Во втором случае заменяют a1 на a1-bk, bk-на нуль и определяют наименьший за вычетом C1k элемент первой строки, после чего описанный процесс повторяется.

2. Правило минимума по столбцу. Вычисление исходного плана проводится по правилу, описанному выше, с той разницей, что строки заменяются столбцами.

3. Правило минимального элемента матрицы. Отыскивается минимальный элемент Cij матрицы стоимостей перевозок, после чего величина перевозки (xij) полагается равной min(aibj). Процесс повторяется до тех пор, пока весь продукт не будет перевезен.

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

vj[k] - ui[k] = Cij, i=1,..., m; j=1, …, n.

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

Метод минимальной стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел аi или bj. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Метод двойного предпочтения. Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.

В каждом столбце отмечают знаком V клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку V V. В них находится минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз, исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком /. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

Транспортная задача - это классическая задача линейного программирования о нахождении наиболее рационального с точки зрения затрат плана перевозок однородного продукта от изготовителя (поставщика) к потребителю. Термин "транспортная задача" определяет не только область приложения метода, но и особенности его реализации с точки зрения используемых математических приемов и т.п. В новых условиях хозяйствования, когда максимально необходимо сокращать расходы, в том числе и транспортные, решение транспортной задачи приобретет важнейшее значение.