• Свойство 1 (сохранение прямолинейности). При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .

• Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.

• Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.

• Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.

• Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.

• Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

• Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY".

• Основное свойство переноса:

• Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY.

• Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.

• Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.

• Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х.

• Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.

• Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY.

• Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.

• Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA".

• Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) .

• Точки A и A" называются симметричными относительно плоскости, если отрезок AA" перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

• Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.

• Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.

• Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

• Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A", что прямая a перпендикулярна отрезку AA" и пересекает его в середине. Про такие точки A и A" говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Отображение плоскости на себя

Определение 1

Отображение плоскости на себя - это такое соответствие каждой точке плоскости какой-либо точки этой же плоскости, при котором каждая точка плоскость будет сопоставленной для какой-либо точки.

Примерами отображения плоскости на себя могут являться осевая симметрия (рис. 1,а) и центральная симметрия (рис. 1,б).

Рисунок 1. а) осевая симметрия; б) центральная симметрия

Понятие движения

Введем теперь определение движения.

Определение 2

Движением плоскости называется такое отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния (рис. 2).

Рисунок 2. Пример движения

Теоремы, связанные с понятием движения

Доказательство.

Пусть нам дан отрезок $MN$. Пусть при заданном движении плоскости точка $M$ отображается на точку $M_1$ этой плоскости, а точка $N$ отображается на точку $N_1$ этой плоскости. Возьмем произвольную точку $P$ отрезка $MN$. Пусть она отображается в точку $\ P_1$ этой плоскости (рис. 3).

Рисунок 3. Отображение отрезка на отрезок при движении

Так как точка $P$ принадлежит отрезку $MN$, то выполняется равенство

Так как, по определению движения, расстояния сохраняются, то

Следовательно

Значит, точка $P_1$ лежит на отрезке $M_1N_1$. В силу произвольности выбора точки $P_1$ получаем, что отрезок $MN$ при движении отобразится на отрезок $M_1N_1$. Равенство же этих отрезков сразу вытекает из определения движения.

Теорема доказана.

Теорема 2

При движении треугольник отображается на равный треугольник.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. По теореме 1, отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$, отрезок $AC$ переходит в отрезок $A_1C_1$, отрезок $BC$ переходит в отрезок $B_1C_1$, причем ${AB=A}_1B_1$, ${AC=A}_1C_1$, ${BC=B}_1C_1$. Следовательно, по III признаку равенства треугольников, треугольник $ABC$ переходит в равный ему треугольник $A_1B_1C_1$.

Теорема доказана.

Аналогично можно доказать, что луч отображается на луч, угол отображается на равный ему угол .

Для формулирования следующей теоремы вначале ведем следующее определение.

Определение 3

Наложением называется такое движение плоскости, которое обладает следующими аксиомами:

1. Если при движении совпадают концы двух отрезков, то совпадают и сами отрезки.
2. От начала любого луча можно отложить отрезок, равный данному отрезку и притом только один.
3. В любую полуплоскость от любого луча можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, причем только один.
4. Любая фигура является равной самой себе.
5. Если фигура 1 равна фигуре 2, то и фигура 2 равна фигуре 1.
6. Если фигура 1 равна фигуре 2, а фигура 2 равна фигуре 3, то фигура 1 равна фигуре 3.

Теорема 3

Любое движение является наложением.

Доказательство.

Рассмотрим движение $g$ треугольника $ABC$. По теореме 2, при движении $g$ треугольник $ABC$ переход в равный ему треугольник $A_1B_1C_1$. По определению равных треугольников получаем, что существует наложение $f$, отображающее точки $A,B\ и\ C$ на точки $A_1,B_1\ и\ C_1$, соответственно. Докажем, что $g$ совпадает с $f$.

Предположим противное, что $g$ не совпадает с $f$. Тогда существует по крайней мере одна точка $M$, которая при движении $g$ переходит в точку $M_1$, а при наложении $f$ - в точку $M_2$. Так как, при $f$ и $g$ сохраняются расстояния, то имеем

То есть точка $A_1$ равноудалена от точек $M_1$ и $M_2$. Аналогично получим, что точки $B_1\ и\ C_1$ равноудалены от точек $M_1$ и $M_2$. Значит точки $A_1,B_1\ и\ C_1$ лежат на прямой, перпендикулярной к отрезку $M_1M_2$ и проходящей через его центр. Это не возможно, так как точки $A_1,B_1\ и\ C_1$ не лежат на одной прямой. Следовательно, движение $g$ совпадает с наложением $f$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие движения

Пример 1

Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Доказательство.

Пусть нам дан угол $AOB$. Пусть при заданном движении точки $A,\ O\ и\ B$ отображаются на точки $A_1,\ O_1\ и\ B_1$. По теореме 2 получаем, что треугольник $AOB$ отображается на треугольник $A_1O_1B_1$, причем эти треугольники равны между собой. Следовательно, $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.

Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся находить красивые решения многих геометрических задач. Примеры таких решений вы найдёте в этой главе.

Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя .

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя - вспомним осевую симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример такого отображения. В самом деле, пусть а - ось симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М 1 относительно прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ 1 , равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка М 1 и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная ей точка М 1 совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М, этой же плоскости. При этом любая точка М 1 оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 321.

Рис. 321

Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя .

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости (см. п. 48). Пусть О - центр симметрии. Каждой точке М плоскости сопоставляется точка М 1 , симметричная точке М относительно точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя.

Рис. 322

Понятие движения

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством - это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками .

Поясним, что это значит. Пусть М и N - какие-либо точки, а М 1 и N 1 - симметричные им точки относительно прямой а (рис. 323). Из точек N и N 1 проведём перпендикуляры NP и N 1 P 1 к прямой ММ 1 . Прямоугольные треугольники MNP и M 1 N 1 P 1 равны по двум катетам: МР = М 1 Р 1 и NP = N 1 P 1 (объясните, почему эти катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и M 1 N 1 также равны.

Рис. 323

Следовательно, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М 1 и N 1 . Другие случаи расположения точек М, N и М 1 , N 1 рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и в этих случаях MN = M 1 N 1 (рис. 324). Таким образом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением).

Рис. 324

Итак, движение плоскости - это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния .

Почему отображение, сохраняющее расстояния, называют движением (или перемещением), можно пояснить на примере осевой симметрии. Её можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а. На рисунке 325 показано, каким образом происходит такой поворот.

Рис. 325

Отметим, что центральная симметрия плоскости также является движением (пользуясь рисунком 326, убедитесь в этом самостоятельно).

Рис. 326

Докажем следующую теорему:

Теорема

При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М 1 и N 1 (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M 1 N 1 . Пусть Р - произвольная точка отрезка MN, Р 1 - точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

M 1 N 1 = MN, М 1 Р 1 = МР и N 1 P 1 = NP. (1)

Рис. 327

Из равенств (1) получаем, что М 1 Р 1 + P 1 N 1 = M 1 N 1 , и, значит, точка Р 1 лежит на отрезке M 1 N 1 (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М 1 Р 1 +P 1 N 1 > M 1 N 1). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M 1 N 1 .

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р 1 - произвольная точка отрезка M 1 N 1 , и точка Р при заданном движении отображается в точку Р 1 . Из соотношений (1) и равенства M 1 N 1 = М 1 Р 1 + P 1 N 1 следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

Следствие

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч - на луч, а угол - на равный ему угол.

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф 1 . Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф 1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф 1 Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение - это отображение плоскости на себя .

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения - это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7-13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки .

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф 1 , состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф 2 , состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф 2 = Ф 1 (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф 2 отображается в фигуру Ф 1 . Но это невозможно, так как наложение - это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А 1 и В 1 . Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А 1 В 1 (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А 1 В 1 . Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости .

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А 1 В 1 С 1 . По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А 1 , В 1 и С 1 .

Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М„ а при наложении ƒ - в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А 1 М 1 , AM = А 1 М 2 , поэтому A 1 M 1 = А 1 М 2 , т. е. точка А 1 равноудалена от точек М 1 и М 2 (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В 1 и С 1 равноудалены от точек М 1 и М 2 . Отсюда следует, что точки А 1 , В 1 и С 1 лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М 1 М 2 . Но это невозможно, так как вершины треугольника А 1 В 1 С 1 не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана.

Рис. 328

Следствие

Задачи

1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A 1 O 1 B 1 , причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A 1 , О 1 , В 1 . Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О 1 А 1 , ОВ = О 1 В 1 . Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 . Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А 1 О 1 В 1 развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат - на квадрат.

1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

1155. АВС и А 1 В 1 С 1 - произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А 1 , В 1 , С 1 .

1156. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 . Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А 1 , В 1 и С 1 , и притом только одно.

По условию задачи треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А 1 , В 1 и С 1 . Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А 1 , В 1 и C 1 (задача 1155).

1157. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

1158. Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.

1159. Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?

1160 Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.

1161 Даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник АВС при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?

Ответы к задачам

1151. Указание. Доказать методом от противного.

1154. Указание. Воспользоваться теоремой п. 119.

1155. Указание. Доказательство провести методом от противного (см. доказательство теоремы п. 119).

1157. Указание. Воспользоваться задачами 1156 и 1051.

1158. Указание. Сначала построить образы каких-нибудь двух точек прямой b.

1159. F - четырёхугольник.

1160. Указание. Задача решается аналогично задаче 1158.

1161. F - треугольник.

краткое содержание других презентаций

«Средняя линия трапеции» - Средняя линия трапеции. A. MN – средняя линия трапеции ABCD. В треугольнике можно построить … средние линии. Средняя линия треугольника обладает свойством … MN = ? AB. Определение средней линии трапеции. Теорема о средней линии трапеции. D. Продолжите предложение: MN || AB.

«Уравнение эллипса» - Авторы: Гололобова О. 9 класс Негрова О. 9 класс Долгова К. 9 класс. Определение эллипса. Как свойства эллипса связаны со свойствами других «замечательных» кривых? 2. Вывели каноническое уравнение эллипса. Ход исследования. Результаты исследования: 4. Определить основные параметры эллипса: Цель: Исследование основных параметров эллипса. 3. Построили эллипс.

«Теорема Фалеса» - Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Теорема Фалеса. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Астрономия. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Милетский материалист. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е. Фалес широко известен как геометр.

«Задачи об окружности и круге» - 2. Ответ: S=25? см2; С=10? см. Решение задач. 1. Длина окружности и площадь круга.

«Правильные многоугольники геометрия» - Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, причем только одну. Выведем формулу для вычисления угла аn правильного n-угольника. Возьмем любые три вершины многоугольника A1A2...An, например A1, A2, А3. Докажем теперь единственность такой окружности. Центр правильного многоугольника. Теорема о центре правильного многоугольника. Единственность такой окружности вытекает из единственности окружности, описанной около треугольника.

«Движение геометрия 9 класс» - Осевая. Осевая симметрия. Центральная и Осевая симметрия. Теорема. Виды движений. Поворот. Наложение. Любое движение является наложением. Осевая симметрия Центральная симметрия Параллельный перенос Поворот. Параллельный перенос. Движения. Центральная симметрия. Понятие движения. Геометрия 9 класс. Центральная. При движении отрезок отображается на отрезок.