В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет задача разложения, состоящая в представлении данного вектора в виде суммы нескольких векторов, называемых составляющими данного

вектора. Эта задача, имеющая в общем случае бесчисленное множество решений, становится вполне определенной, если задать некоторые элементы составляющих векторов.

2. Примеры разложения.

Рассмотрим несколько весьма часто встречающихся случаев разложения.

1. Разложить данный вектор с на два составляющих вектора из которых один, например а, задан по величине и направлению.

Задача сводится к определению разности двух векторов. Действительно, если векторы являются составляющими вектора с, то должно выполняться равенство

Отсюда определяется второй составляющий вектор

2. Разложить данный вектор с на два составляющих, из которых один должен лежать в заданной плоскости а второй должен лежать на заданной прямой а.

Для определения составляющих векторов перенесем вектор с так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения заданной прямой с плоскостью (точка О - см. рис. 18). Из конца вектора с (точка С) проведем прямую до

пересечения с плоскостью {В - точка пересечения), а затем из точки С проведем прямую параллельно

Векторы и будут искомыми, т. е. Естественно, что указанное разложение возможно, если прямая а и плоскость не параллельны.

3. Даны три компланарных вектора а, b и с, причем векторы не коллинеарны. Требуется разложить вектор с по векторам

Приведем все три заданных вектора к одной точке О. Тогда в силу их компланарности они расположатся в одной плоскости. На данном векторе с как на диагонали построим параллелограмм, стороны которого параллельны линиям действия векторов (рис. 19). Это построение всегда возможно (если только векторы не коллинеарны) и единственно. Из рис. 19 видно, что

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов

Базисом в пространстве R n называется любая система из n -линейно независимых векторов. Каждый вектор из R n , не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.
Пусть – базис пространства R n и . Тогда найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , …, λ n , что .
Коэффициенты разложения λ 1 , λ 2 , …, λ n , называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Замечание. В каждом n -мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе. Пример. Разложить вектор по базису .
Решение. . Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:

Приравняв координаты, получим систему уравнений:

Решим ее: .
Таким образом, получим разложение: .
В базисе вектор имеет координаты .

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок имеющий определенную длину т е отрезок определенной длины у которого одна из ограничивающих его точек.. длина вектора называется его модулем и обозначается символом модуль вектора.. вектор называется нулевым обозначается если начало и конец его совпадают нулевой вектор не имеет определенного..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис

Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e,e...,e[n] необходимо найти коэффициенты x, ..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e,e...,e[n] равна вектору b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x, ..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e,e...,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Разложение вектора по векторам базиса

Задача 1. Проверьте, образуют ли векторы a1, a2 базис на плоскости

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю , следовательно векторы линейно независимы, а значит образуют базис .

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Вычисляем детерминант составленный из векторов

Определитель равен 13 (не равен нулю) - из этого следует что векторы a1, a2 является базисом на плоскости.

---=================---

Рассмотрим типичные примеры из программы МАУП по дисциплине "Высшая математика".

Задача 2. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трехмерного векторного пространства, и разложить вектор b по этому базису (при решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2) .
Решение: Сначала рассмотрим систему векторов a1, a2, a3 и проверим определитель матрицы А

построенной на векторах отличных от нуля. Матрица содержит один нулевой элемент, поэтому детерминант целесообразнее вычислять как расписание по первому столбцу или третей строчке.

В рекзультаье вычислений получили что определитель отличен от нуля, следовательно векторы a1, a2, a3 линейно независимы .
Согласно определению векторы образуют базис в R3 . Запишем расписание вектора b по базису

Векторы равны, когда их соответствующие координаты равны.
Поэтому из векторного уравнения получим систему линейных уравнений

Решим СЛАУ методом Крамера . Для этого запишем систему уравнений в виде

Главный определитель СЛАУ всегда равен определителю составленному из векторов базиса

Поэтому на практике его не исчисляют дважды. Для нахождения вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место каждого столбца главного определителя. Определители вычисляем по правилу треугольников



Подставим найденые определители в формулу Крамера



Итак, разложение вектора b по базису имеет вид b=-4a1+3a2-a3 . Координатами вектора b в базисе a1, a2, a3 будут (-4,3, 1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяем векторы на базис - составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы образуют базис в пространстве . Осталось найти расписание вектора b через данный базис. Для этого записываем векторное уравнение

и преобразуем к системе линейных уравнений

Записываем матричное уравнение

Далее для формул Крамера находим вспомогательные определители



Применяем формулы Крамера



Итак заданный вектора b имеет расписание через два вектора базиса b=-2a1+5a3, а его координаты в базисе равны b(-2,0, 5).