Использование теории массового обслуживания при организации сервиса машин
Элементы теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания (ТМО) количественно описывает совокупность однородных случайных событий, которые происходят в реальных условиях.
В 1919 г. датский математик Эрланг впервые математически описал нагрузку телефонных станций. Затем теория массового обслуживания нашла мировое применение в различных областях техники, в том числе на автомобильном транспорте.
Теория массового обслуживания описывает так называемые марковские случайные процессы, называемые в честь известного русского ученого А.А. Маркова. Случайный процесс называется марковским в том случае, если вероятность будущего состояния системы, отвечающей данному процессу, зависит только от ее состояния в настоящий момент времени и не зависит от того, в каких состояниях она была в прошлом.
Системы массового обслуживания (СМО) - это системы, в которые в случайные моменты времени поступают требования (заявки) на обслуживание, при этом поступившие требования обслуживаются с помощью имеющихся в системе каналов (постов) обслуживания.
В качестве критериев эффективности работы системы массового обслуживания, в зависимости в зависимости от характера решаемой задачи, могут быть:
· вероятность немедленного обслуживания заявки;
· вероятность отказа в обслуживании;
· среднее число обслуженных заявок и заявок, получивших отказ;
· среднее время ожидания обслуживания; средняя длина очереди; относительная и абсолютная пропускная способность системы;
· убытки от простоя заявок в очереди и незанятых каналов обслуживания и другие.
Виды систем массового обслуживания
Различают два основных вида систем массового обслуживания:
1. Системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему;
2. Системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.
СМО с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и с неограниченным ожиданием. Ожидание ограничивается или длиной очереди, или временем пребывания в очереди. В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди ждет обслуживания неограниченно долго, пока не дойдет очередь. Примером такой системы является зона текущего ремонта автомобилей в АТП.
Одноканальная система с отказами.
Рассмотрим простейший случай, когда СМО имеет в своем распоряжении всего один канал обслуживания (п =1) и работает с отказами. Состояние данной системы можно изобразить графически в виде графа состояний: где х 0 - состояние системы, когда канал не занят; х 1 - состояние системы, когда канал занят; Р - вероятности перехода системы из одного состояния в другое (Р 00 ∆t не поступит ни одной заявки; Р 10 ∆t заявка будет обслужена; P 01 - вероятность того, что за время ∆t поступит заявка; Р 11 - вероятность того, что за время ∆t заявка не обслужится).
| Р 01 |
| х 1 |
| х 0 |
| Р 11 |
| Р 00 |
| Р 10 |
| х 0 |
| х 1 |
Рис. 5.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Многочисленными наблюдениями за СМО установлено, что число требований (заявок), поступающих в канал обслуживания, распределено по закону Пуассона
где Р(к) - вероятность того, что за время ∆t поступит к заявок (к = 0,1,2,…); λ - плотность или интенсивность заявок, то есть среднее число заявок в единицу времени; ∆t - отрезок времени, за который рассматривается вероятность поступления заявок;
Вероятность того, что за время ∆t не поступит ни одной заявки (к = 0) составит
. (5.2)
Многочисленными наблюдениями за СМО установлено также, что время обслуживания одной заявки распределено по показательному закону, плотность которого
, (5.3)
где μ - интенсивность обслуживания, то есть среднее число обслуживаний в единицу времени μ = 1/М t об ; М t об - среднее время обслуживания заявки.
Вероятность того, что за время ∆t заявка будет обслужена, составит
При этом вероятность того, что за время ∆t заявка не будет обслужена, составит
Сравнивая выражения (5.2) и (5.5) видим, что время между двумя заявками распределено по показательному закону. Это позволяет моделировать случайные моменты времени поступления заявок на обслуживание.
Выражения (5.2) и (5.4) могут быть преобразованы с использованием разложения в ряд Маклорена
Отбрасывая члены ряда второго порядка и выше для выражений (5.2) и (5.4) запишем
Канал может быть в состоянии х 0 в двух случаях:
1. в момент t х 0 , а за время Δt не пришло ни одной заявки;
2. в момент t система находилась в состоянии х 1 , а за время ∆t канал освободился и система перешла в состояние х 0 .
Вероятность того, что в момент времени (t+ ∆t ) система будет находиться в х 0 состоянии по теореме сложения вероятностей равна сумме вероятности двух указанных выше случаев
Вероятность указанных выше событий (1 и 2) равна произведению вероятностей событий в них входящих.
Раскрывая скобки и группируя переменные, получаем
. (5.10)
Аналогично и для
(5.11)
Уравнения (5.10) и (5.11) называются разностными. Переходя к пределу при ∆t→ 0, получаем систему дифференциальных уравнений Эрланга
, (5.12)
. (5.13)
Приведенная система дифференциальных уравнений Эрланга является частным случаем системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
Для установившегося режима (λ = const) производные равны нулю, поэтому система дифференциальных уравнений (5.12) и (5.13) преобразуется в систему алгебраических уравнений, в частности для одноканальной системы с отказами получим
, откуда . (5.14)
Рассматривая выражение (5.14), формулируем следующее важное мнемоническое правило: «Что вытекает, то и втекает». Для каждого состояния сумма членов, соответствующая выходящим стрелкам, равна сумме членов, соответствующих входящим. Каждый член равен интенсивности потока событий, переводящих систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.
Применительно к одноканальной системе с отказами это значит, что ее перевод слева направо осуществляется с плотностью λ , а обратный перевод справа налево - с плотностью μ .
Мнемоническое правило остается справедливым и для многоканальной системы с отказами и с ожиданием в очереди.
Из равенства (5.14) с учетом того, что Р 0 +Р 1 = 1, получаем
, откуда
, (5.15)
при этом 
, (5.16)
где α= λ/μ - приведенная плотность или загрузка системы.
Пример: Исследуется работа СТОА с отказами. Станция имеет один подъемник (канал, п = 1). На станцию поступает простейший пуассоновский поток заявок с плотностью λ = 5 автомобилей в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и характеризуется средней продолжительностью М t об = 0,333 ч на автомобиль. Определить показатели эффективности станции за 10 - часовой рабочий день.
1. Плотность или интенсивность обслуживания μ = 1/ М t об = 1/0,333= 3 автомобиля в ч.
2. Определяем вероятность того, что машина будет принята для немедленного обслуживания. Эта вероятность называется относительной пропускной способностью СМО
= 0,375
Следовательно, 37,5% прибывающих автомобилей будет поставлено на немедленное обслуживание.
3. Находим абсолютную пропускную способность станции
λ∙ Р 0 = 5∙0,375 = 1,875 авт. в ч,
а за десять ч 18,75 автомобиля.
4. Определим вероятность отказа
Р отк = 1- Р 0 = 1 - 0,375 = 0,625.
Следовательно, 62,5% прибывающих автомобилей получают отказ.
5. Находим номинальную или максимально возможную пропускную способность за 10 часовой рабочий день
= 3 · 10 = 30 автомобиля в день.
Как видим, абсолютная пропускная способность примерно в 1,5 раза меньше номинальной. Это расхождение объясняется случайным характером потока заявок и случайным временем обслуживания заявок.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ,. Интенсивность потока обслуживания равна μ, (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2
Рисунок 5.2 – Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 - «канал свободен»;
S1 - «канал занят» (очереди нет);
S2 - «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
Sn - «канал занят» (п - 1 заявок стоит в очереди);
SN - «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
(10)
п - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (10) для нашей модели СМО имеет вид
(11)
(12)
Следует отметить, что выполнение условия стационарности
для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением λ/μ=ρ
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
(13)
относительная пропускная способность системы:
(14)
абсолютная пропускная способность:
среднее число находящихся в системе заявок:
(16)
среднее время пребывания заявки в системе:
(17)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
(18)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
(19)
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3[(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность λ = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживаний автомобилей:
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ, и μ, т. е.
3. Вычислим финальные вероятности системы
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
(автомобиля в час).
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р отк = 0,158).
Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N →∞). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t →∞ оо для любого n = 0, 1, 2, ... и когда λ < μ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t →∞ для любого n = 0, 1, 2, ... , имеет вид
(20)
Решение данной системы уравнений имеет вид
где ρ = λ/μ < 1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
Среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
(22)
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
(23)
среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
(24)
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
(25)
Пример 3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:
вероятности состояний системы (поста диагностики);
Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
Среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
Среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.
1. Параметр потока обслуживания μ и приведенная интенсивность потока автомобилей ρ определены в примере 2:
μ= 0,952; ρ = 0,893.
2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам
Р 0 = 1 - ρ = 1 - 0,893 = 0,107;
Р 1 = (1 - ρ) . ρ = (1 - 0,893)*0,893 = 0,096;
Р 2 = (1 - ρ) . ρ 2 = (1 - 0,893)*0,8932 = 0,085;
Р з = (1 - ρ) . ρ 3 = (1 - 0,893)*0,8933 = 0,076;
Р 4 = (1 - ρ) . ρ 4 = (1 - 0,893)* 0,8934 = 0,068;
Р 5 = (1 - ρ) . ρ 5 = (1 - 0,893)*0,8935 = 0,061 и т. д.
Следует отметить, что Р 0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р 0 = 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
7. Относительная пропускная способность системы:
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность:
А = λ* q = 0,85 * 1 = 0,85.
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 2). Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
m=λ*P N
В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и ρ = 0,893
m=λ*P 0 *ρ 4 =0.85*0.248*0.8934=0.134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 * 0,134 = 1,6 автомобиля. Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем при мере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
4.4 Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется l/μ. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 4.3.
Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:
S 0 - все каналы свободны;
S 1 - занят один канал, остальные свободны;
……………………….
S k - заняты ровно k каналов, остальные свободны;
……………………….
S n - заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р 0 , …, P k ,…, Р n будут иметь следующий вид:
(26)
Начальные условия решения системы таковы:
P 0 (0)=1, P 1 (0)=P 2 (0)=…=P k (0)=…=P n (0)=0.
Стационарное решение системы имеет вид:
(27)
Формулы для вычисления вероятностей P k называются формулами Эрланга.
Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:
Вероятность отказа:
(28)
так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина Р отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;
Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q) дополняет Р отк до единицы:
(29)
Абсолютная пропускная способность
A=λ*q=λ*(1-P отк); (30)
Среднее число каналов, занятых обслуживанием следующее:
(31)
Оно характеризует степень загрузки системы.
Пример 4. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания t обсл = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.
Требуется вычислить финальные значения:
Вероятности состояний ВЦ;
Вероятности отказа в обслуживании заявки;
Относительной пропускной способности ВЦ;
Абсолютной пропускной способности ВЦ;
Среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.
1. Определим параметр μ потока обслуживании:
ρ=λ/μ=1/0.555=1.8
3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эр-
ланга (27):
P 1 =1.8*0.186=0.334;
P 2 =1.62*0.186=0.301;
P 3 =0.97*0.186=0.180.
4. Вероятность отказа в обслуживании заявки
P отк =P 3 =0.180
5. Относительная пропускная способность ВЦ
q = 1 - P отк = 1 - 0.180 = 0,820.
6. Абсолютная пропускная способность ВЦ
А = λ q = 1 0,820 = 0,820.
7. Среднее число занятых каналов - ПЭВМ
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (P 3 =0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.
Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (28):
Составим следующую таблицу:
| n | ||||||
| P 0 | 0,357 | 0,226 | 0,186 | 0,172 | 0,167 | 0,166 |
| P отк | 0,643 | 0,367 | 0,18 | 0,075 | 0,026 | 0,0078 |
Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при п = 6 вероятность отказа в обслуживании (Р отк) составляет 0,0078.
4.5 Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием
Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ и μ соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна
В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:
(32)
Решение системы уравнений (32) имеет вид
(33) (34)
(35)
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:
Вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (33) и (34);
Среднее число клиентов в очереди на обслуживание
(36)
Среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
Средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример 5. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ= 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
Вероятности состояний системы;
Среднее число заявок в очереди на обслуживание;
Среднее число находящихся в системе заявок;
Среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
Среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
1. Определим параметр потока обслуживаний
μ = 1/t=1/0,5 = 2.
2. Приведенная интенсивность потока заявок
ρ = λ/μ = 2,5/2,0 = 1,25,
при этом λ/μ *с= 2,5/2 * 3 = 0,41.
Поскольку λ/μ * с <1 , то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
3. Вычислим вероятности состояний системы:
4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской
5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание
6. Среднее число находящихся в системе заявок
L s = L q + ρ = 0,111 + 1,25 = 1,361.
7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание
8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)
Система Эрланга
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
А - абсолютную пропускную способность СМО,
т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q
- относительную пропускную способность,
т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
P отк.
- вероятность отказа,
т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
- среднее число занятых каналов
(для многоканальной системы).
Одноканальная система с отказами
. Рассмотрим задачу.
Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ 1 . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет два состояния: S 0 - канал свободен, S 1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.
Рис. 6
В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.
(18)
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p 0 +p 1 =1,
найдем из (18) предельные вероятности состояний
(19)
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S 0 (когда канал свободен) и S 1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P отк:
(20)
(21)
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов
(22)
Задача 5.
Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону об. =2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение.
Имеем λ=90 (1/ч), об. =2 мин. Интенсивность потока обслуживании μ=1/ об =1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО (Q=30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит Р отк. =0,75 (см.
(21)).
Абсолютная пропускная способность СМО по (29) ,A=90∙0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная система с отказами
. Рассмотрим классическую задачу Эрланга.
Имеется n
каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ.
Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , …, S n , где S k
- состояние системы, когда в ней находится k
заявок, т.е. занято k
каналов.
Граф состояний СМОсоответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.
Рис. 7
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ.
Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние. S 1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2μ. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S 3 (три канала заняты) в S 2 . будет иметь интенсивность Зμ, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
(23)
где членыразложения
будут представлять собой коэффициенты приp 0 в выражениях для предельных вероятностей p 1 , p 2 , …, p k , …, p n .
Величина
(24)
называется приведенной
интенсивностью потока заявок
или интенсивностью нагрузки канала.
Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
(25)
есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных
системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
(30)
или, учитывая (29), (24):
(31)
Одноканальная система массового обслуживания с отказами.
Предположим, что СМО состоит из одного канала обслуживания и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью X, т. е. непрерывная случайная величина Т - время между соседними заявками распределено по экспоненциальному закону, время обслуживания каждой заявки имеет такое же распределение с параметром р. Параметры X и р называются соответственно интенсивностью потока заявок и интенсивностью потока обслуживании.
Система массового обслуживания может находиться в одном из двух состояний: s 0 - канал свободен (простаивает) или s, - канал занят. Из состояния s 0 в состояние s, систему переводит поток входящих заявок, а из состояния s, в состояние s 0 - поток обслуживании. Плотности вероятностей переходов из состояния s 0 в состояние s { и обратно равны соответственно X и р.
Граф состояний СМО показан на рис. 1.5.
Рис.
в состоянии s 0 или s t соответственно. Очевидно, что справедливо нормировочное условие p 0 (t) + Pi (t) = 1.
Учитывая, что случайный процесс, протекающий в СМО, является марковским, вероятности p 0 (t) и pj(t) можно определить из системы уравнений Колмогорова:
Подстановка нормировочного условия в эту систему приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно p 0 (t):
Принимая условие, что в начальный момент времени при t = О канал свободен, т. е. р 0 (0) = 1 и pj(0) = 0, можно получить решение уравнения (1.20) в следующем виде:
С использованием нормировочного условия можно также установить выражение для определения pj(t):
В предельном стационарном режиме (при t -» °°) система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
Учитывая нормировочное условие, определим предельные вероятности состояний
Рассмотрим основные показатели эффективности работы одноканальной СМО с отказами.
Так как вероятность обслуживания поступивших заявок в такой системе равна р 0 , а относительная пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных заявок к среднему числу поступивших заявок за единицу времени, то Q = р 0 , т. е. для одноканальной СМО с отказами
Абсолютная пропускная способность СМО - это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, или интенсивность выходящего потока:
Вероятность отказа в СМО возникает, когда канал занят, это вероятность Р!
Среднее время обслуживания заявки есть величина, обратная р:
Аналогично можно определить среднее время простоя канала:
Среднее время пребывания заявки в системе вычисляется по формуле:
Пример 1.4. На телефонную линию оператора сотовой связи приходит простейший поток вызовов с интенсивностью X = 1,5 заявки в минуту. Производительность линии р = 0,4 вызова в минуту. Вызов, пришедший на линию во время ее занятости, не обслуживается. Определить абсолютную пропускную способность линии, среднее время обслуживания одного вызова, вероятность отказов обслуживаний, а также среднее время пребывания заявки в системе.
Решение. 1. По формулам (1.27)-(1.31), проведя необходимые расчеты, получаем: А = 0,32 выз./мин; р отк = 0,79; t o6cjI = 2,5 мин;
- 1 сист = °> 52 МИН -
- 2. Расчетные данные свидетельствуют о том, что при наличии одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная СМО с отказами.
На вход системы, имеющей п каналов, поступает простейший поток заявок с интенсивностью X, поток обслуживаний каждым каналом также является простейшим с интенсивностью р.
Пронумеруем состояния системы по числу занятых каналов (каждый канал в системе либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).
Система имеет следующие состояния: где s k -
состояние системы, когда в ней находится к заявок, т. е. занято к каналов.
Граф состояний такой системы соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое состояние с одной и той же интенсивностью к. Интенсивность же потока обслуживания, переводящая систему из любого правого состояния в левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Рассмотрим в качестве примера СМО, находящуюся в состоянии s 2 , когда заняты два канала. Система может перейти в состояние s t когда закончится обслуживание второго либо первого канала, соответственно суммарная интенсивность обслуживании будет равна 2р.
Воспользовавшись формулой (1.18) для процесса гибели и размножения, получим следующее выражение для предельной вероятности состояния р 0
Введем обозначение которое называется приведенной интенсивностью потока заявок (интенсивностью нагрузки каналов). Эта величина представляет собой среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда мы можем получить следующую формулу:
Используя выражение (1.19), имеем:
Приведенные формулы (1.34) в технической литературе получили название формул Эрланга (датский инженер, математик - один из основателей теории массового обслуживания).
Запишем аналитические выражения для оценки основных показателей эффективности работы рассматриваемой СМО. Исходя из принципа работы такой СМО отказ в обслуживании заявки наступает, когда все каналы заняты, а система находится в состоянии s n , т. е. вероятность отказа СМО
Поскольку событие обслуживания заявки и событие отказа в ее обслуживании являются противоположными, вероятность обслуживания заявки (вероятность того, что свободен хотя бы один канал) будет
Относительная пропускная способность СМО определяется как вероятность ее обслуживания
Абсолютная пропускная способность СМО (она же интенсивность потока обслуженных заявок):
Для многоканальных СМО важным показателем эффективности их работы является среднее число занятых каналов к (математическое ожидание числа занятых каналов)
Учитывая, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок в единицу времени, а каждый занятый канал обслуживает в среднем р заявок в единицу времени, среднее число занятых каналов можно определить по формуле:
Пример 1.5. Вычислительный центр электросетевой компании оборудован тремя ЭВМ, на которые поступают заказы по выполнению вычислительных работ. Если работают одновременно все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом 2,5 ч. Интенсивность потока заявок 0,2 ч -1 . Определить и проанализировать предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. 1. Определим параметры СМО: п = 2; X = 0,2 ч -1 ;
интенсивность потока обслуживания
; интенсивность нагрузки ЭВМ р = 0,2/0,4 = 0,5.
2. Найдем вероятности состояний: вероятность того, что в системе отсутствуют заявки:
вероятности других состояний:
вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ:
Таким образом, в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем в течение 61 % времени нет ни одной заявки, в 30 % времени имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), в 8 % - две заявки (заняты две ЭВМ) и в 1 % - три заявки (заняты три ЭВМ). Вероятность отказа, когда все три ЭВМ заняты - р отк = 0,01.
3. Определим показатели эффективности вычислительного центра: относительная пропускная способность:
т. е. из каждой сотни заявок вычислительный центр обслуживает 99;
абсолютная пропускная способность вычислительного центра:
т. е. в один час в среднем обслуживается 0,2 заявки; среднее число занятых ЭВМ:
Технико-экономический анализ полученных данных должен базироваться на сопоставлении доходов от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ. Как видим, в данном случае наблюдается высокая пропускная способность вычислительного центра, но значительный простой каналов обслуживания. Необходим поиск компромиссного решения.
