Предположим, что мы хотим распространить нашу модель на другие значения независимой переменной и поставить проблему прогнозирования среднего значения у соответствующего некоторому данному значению, которое может лежать как между выборочными наблюдениями отдо, так и вне этого интервала. Прогноз может быть точечным или интервальным.

Точечный прогноз – это вычисленное по уравнению
значение.

Интервальный прогноз – это доверительный интервал, покрывающий с заданной надежностью 1-
ожидаемую величину:

, (3.1.13)

. (3.1.14)


Можно построить доверительный интервал для параметра
, который покрывает истинное значение параметра
с заданной надежностью 1-
:

. (3.1.16)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции находят по формуле (3.1.17):

. (3.1.18)

Для нелинейных регрессий рассчитывают индекс корреляции равный квадратному корню из коэффициента детерминации, вычисляемого по формуле (3.1.10).

Оценку надежности индекса корреляции проводят с помощью
-статистики, вычисляемой по формуле (3.2.19):

, (3.1.19)

где m – число параметров в уравнении регрессии. По таблицам Фишера (приложение Е) по заданной надёжности 1-
и числу степеней свободы (
) и (
) находят табличное значение
. Если
, то с заданной надёжностью 1-
можно сделать вывод о надежности индекса корреляции.

Адекватность построенной модели изучаемому процессу может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации (среднего процента расхождения теоретических значений и фактических):

. (3.1.20)

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5-% погрешность (иногда 7-%, редко 10-%). Модель считается адекватной (а значит и пригодной), если
.

Поскольку одна и та же тенденция может быть выражена разными моделями, то часто используют ряд функций, а затем и выбирают наиболее предпочтительную. Выбор наиболее предпочтительной модели можно проводить на основе остаточного среднеквадратического отклонения (остаточной дисперсии):

, (3.1.21)

где
- число параметров в уравнении.

Лучшей будет та функция, у которой меньше.

Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.

Решение. Для нахождения параметров линейного уравнения регрессии (3.1.1) с помощью системы линейных уравнений Гаусса (3.1.2) составим вспомогательную расчетную таблицу 3.1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Планирование и прогнозирование

в условиях рынка»

на тему: Доверительные интервалы прогноза

Оценка адекватности и точности моделей


Глава 1. Теоретическая часть. 3

Глава 2. Практическая часть. 9

Список используемой литературы.. 13


 Глава 1. Теоретическая часть

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:


где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

y n + L -точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

(1.2.),

где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t 1 = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

(1.5.),

(1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:


(1.7.),

где y t - фактические значения уровней ряда,

Расчетные значения уровней ряда,

n - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Линейный тренд

Параболический тренд

Длина ряда (п)

Период упреждения (L)

длина ряда (п)

период упреждения (L)

7 2,6380 2,8748 3,1399 7 3,948 5,755 8,152
8 2,4631 2,6391 2,8361 8 3,459 4,754 6,461
9 2,3422 2,4786 2,6310 9 3,144 4,124 5,408
10 2,2524 2,3614 2,4827 10 2,926 3,695 4,698
11 2,1827 2,2718 2,3706 11 2,763 3,384 4,189
12 2,1274 2,2017 2,2836 12 2,636 3,148 3,808
13 2,0837 2,1463 2,2155 13 2,536 2,965 3,516
14 2,0462 2,1000 2,1590 14 2,455 2,830 3,286
15 2,0153 2,0621 2,1131 15 2,386 2,701 3,100
16 1,9883 2,0292 2,0735 16 2,330 2,604 2,950
17 1,9654 2,0015 2,0406 17 2,280 2,521 2,823
18 1,9455 1,9776 2,0124 18 2,238 2,451 2,717
19 1,9280 1,9568 1,9877 19 2,201 2,391 2,627
20 1,9117 1,9375 1,9654 20 2,169 2,339 2,549
21 1,8975 1,9210 1,9461 21 2,139 2,293 2,481
22 1,8854 1,9066 1,9294 22 2,113 2,252 2,422
23 1,8738 1,8932 1,9140 23 2,090 2,217 2,371
24 1,8631 1,8808 1,8998 24 2,069 2,185 2,325
25 1,8538 1,8701 1,8876 25 2,049 2,156 2,284

Глава 2. Практическая часть

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

1 510 11 494 21 523
2 497 12 499 22 527
3 504 13 502 23 523
4 510 14 509 24 528
5 509 15 525 25 529
6 503 16 512 26 538
7 500 17 510 27 539
8 500 18 506 28 541
9 500 19 515 29 543
10 495 20 522 30 541

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка


,

где - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

На 1 день вперед (=1);

На 2 дня вперед (=2).

Решение задания 1.5

1. Определим

Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.

. а =0,1 – по условию;

; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.

а =0,5 – по условию.

; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

Экспоненциальная средняя

Экспоненциальная средняя

а =0,1

а =0,5

а =0,1

а =0,5

1 506,4 508 16 505,7 513,3
2 505,5 502,5 17 506,1 511,7
3 505,3 503,2 18 506,1 508,8
4 505,8 506,6 19 507,0 511,9
5 506,1 507,8 20 508,5 517
6 505,8 505,4 21 509,9 520
7 505,2 502,7 22 511,6 523,5
8 504,7 501,4 23 512,8 523,2
9 504,2 500,7 24 514,3 525,6
10 503,4 497,8 25 515,8 527,3
11 502,4 495,9 26 518,0 532,7
12 502,0 497,5 27 520,1 525,8
13 502,0 499,7 28 522,2 538,4
14 502,7 504,4 29 524,3 540,7
15 505,0 514,7 30 525,9 540,9

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С – экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (= 1):

Прогноз на 2 дня вперед (= 2):


 Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ, 2003. – 52с.

2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 1997.

Расчеты и проверка достоверности полученных оценок коэффициентов регрессии не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 2.1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х =140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ (х )= –0,974 + 0,01924×140=1,72 млрд. руб.

Доверительный интервал для прогностического значения у (х )= a 0 +a 1 х определяется по формуле

где t p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р . Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (5.2).

Выберем уровень значимости 5%. Число степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t 0.05 (6)=2,447.s=Ö 0,008=0,089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1,72 – 2,447×0,048<y (x )<1,72+2,447×0,048, или 1,60<y (x )<1,84.

5.8. Практический блок

Пример. Построить модель связи между указанными факторами, проверить её адекватность, осуществить точечный и интервальный прогноз методом экстраполяции.

1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать предварительное заключение о наличии связи.

Таблица 5.6Диаграмма 5.1

x Y
2,1 29,5
2,9 34,2
3,3 30,6
3,8 35,2
4,2 40,7
3,9 44,5
5,0 47,2
4,9 55,2
6,3 51,8
5,8 56,7

Вывод: Из диаграммы 5.1 видно, что связь между факторами x и y

прямая сильная линейная связь .

2. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами х и у .

Таблица 5.7

№ xy
2,1 29,5 4,41 870,25 61,95 27,91 1,59 0,054
2,9 34,2 8,41 1169,64 99,18 33,46 0,74 0,022
3,3 30,6 10,89 936,36 100,98 36,23 -5,63 0,184
3,8 35,2 14,44 1239,04 133,76 39,69 -4,49 0,128
4,2 40,7 17,64 1656,49 170,94 42,47 -1,77 0,043
3,9 44,5 15,21 1980,25 173,55 40,39 4,11 0,092
5,0 47,2 2227,84 48,01 -0,81 0,017
4,9 55,2 24,01 3047,04 270,48 47,32 7,88 0,143
6,3 51,8 39,69 2683,24 326,34 57,02 -5,22 0,101
5,8 56,7 33,64 3214,89 328,86 53,55 3,15 0,056
ИТОГО: 42,2 193,34 19025,04 1902,04 0,840
Среднее зн. 4,22 42,56 19,334 1902,504 190,204

2.1.Проверим тесноту связи между факторами:

;

Вывод: связь сильная.

2.2.Проверим статистическую значимость по критерию Стьюдента:

1)Критерий Стьюдента: tвыб<=tкр

2)Н о: r=0 tкр=2,31

tвыб=rвыб*

Вывод: таким образом поскольку tвыб=5,84

90% нулевая гипотеза отвергается, это указывает на наличие сильной линейной связи.

3. Полагая, что связь между факторами х и у может быть описана линейной функцией, используя процедуру метода наименьших квадратов, запишите систему нормальных уравнений относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. Любым способом рассчитайте эти коэффициенты.

Последовательно подставляя в уравнение регрессии из графы (2) табл.5.7, рассчитаем значения и заполним графу (7) табл.5.7.

4. Для полученной модели связи между факторами Х и У рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте предварительное заключение приемлемости полученной модели.

Для расчета заполним 8-ую и 9-ую графу табл.5.7.

<Екр=12%

Вывод: модель следует признать удовлетворительной.

5 . Проверьте значимость коэффициента уравнения регрессии a 1 на основе t-критерия Стьюдента.

Решение: Таблица 5.8

№
2,1 29,5 27,91 2,5281 214,623 170,5636
2,9 34,2 33,46 0,5476 82,81 69,8896
3,3 30,6 36,23 31,6969 40,069 143,0416
3,8 35,2 39,69 20,1601 8,237 54,1696
4,2 40,7 42,47 3,1329 0,008 3,4596
3,9 44,5 40,39 16,8921 4,709 3,7636
47,2 48,01 0,6561 29,703 21,5296
4,9 55,2 47,32 62,0944 22,658 159,7696
6,3 51,8 57,02 27,2484 209,092 85,3776
5,8 56,7 53,55 9,9225 120,78 199,9396
ИТОГО: 42,2 425,6 426,1 174,8791 732,687 911,504
Среднее 4,22 42,56

Статистическая проверка:

Вывод: С доверительной вероятностью 90% коэффициент a 1 - статистически значим, т.е. нулевая гипотеза отвергается.

6. Проверьте адекватность модели (уравнения регрессии) в целом на основе F-критерия Фишера-Снедекора.

Процедура статистической проверки:

:модель не адекватна

Вывод: т.к. Fвыб.>Fкр., то с доверительной вероятностью 95% нулевая гипотеза отвергается (т.е. принимается альтернативная). Изучаемая модель адекватна и может быть использована для прогнозирования и принятия управленческих решений.

7. Рассчитайте эмпирический коэффициент детерминации.

(таб. 3)

Показывает долю вариации.

Вывод: т.е. 80% вариации объясняется фактором, включенным в модель, а 20% не включенными в модель факторами.

8. Рассчитайте корреляционное отношение. Сравните полученное значение с величиной линейного коэффициента корреляции.

Эмпирическое корреляционное отношение указывает на тесноту связи между двумя факторами для любой связи, если связь линейная, то , т.е. коэффициент корреляции совпадает с коэффициентом детерминации.

9 . Выполните точечный прогноз для .

10-12 . Рассчитайте доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результирующего признака при доверительной вероятности =90%. Изобразите в одной системе координат:

а) исходные данные,

б) линию регрессии,

в) точечный прогноз,

г) 90% доверительные интервалы.

Сформулируйте общий вывод относительно полученной модели.

-математическое ожидание среднего.

Для выполнения интервального прогноза рассматриваем две области.

1) для y из области изменения фактора x доверительные границы для линейного уравнения регрессии рассчитывается по формуле:

2) для прогнозного значения доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

Исходные данные:

2) t=2,31(таб.)

5) : 27,91 42,56 57,02 66,72

6) 19,334-4,22 2)=1,53.

Таблица 5.9

№
1 2,1 -2,12 4,49 3,03 1,74 2,31 4,68 18,81 27,91 9,10 46,72
4,22 0,00 0,00 0,1 0,32 2,31 4,68 3,46 42,56 39,10 46,02
6,3 2,08 4,33 2,93 1,71 2,31 4,68 18,49 57,02 38,53 75,51
7,7 3,48 12,11 9,02 2,31 4,68 32,43 66,72 34,29 99,15

Вывод: поскольку 90% точек наблюдения попало в 90% доверительный интервал, данная модель и ее доверительные границы могут использоваться для прогнозирования с 90% доверительной вероятностью.

Контрольные вопросы

1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.

3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.

4. Виды автокорреляции в остатках.

5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.

6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.

7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.

8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

9. Что понимается под гомоскедастичностью?

10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?

11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.

16. Средняя ошибка аппроксимации.

17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.

18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

22. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

Задания и задачи

1 . Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 2006г.

№ п/п Чистый доход, млрд долл.США, у Оборот капитала, млрд долл. США, х 1 Использованный капитал, млрд долл. США, х 2 Числен­ность служа­щих, тыс.чел., х 3 Рыночная капитализация компании, млрд долл. США, х 4
0,9 31,3 18,9 43,0 40,9
1,7 13,4 13,7 64,7 40,5
0,7 4,5 18,5 24,0 38,9
1,7 10,0 4,8 50,2 38,5
2,6 20,0 21,8 106,0 37,3
1,3 15,0 5,8 96,6 26,5
4,1 137,1 99,0 347,0 37,0
1,6 17,9 20,1 85,6 36,8
6,9 165,4 60,6 745,0 36,3
0,4 2,0 1,4 4,1 35,3
1,3 6,8 8,0 26,8 35,3
1,9 27,1 18,9 42,7 35,0
1,9 13,4 13,2 61,8 26,2
1,4 9,8 12,6 212,0 33,1
0,4 19,5 12,2 105,0 32,7
0,8 6,8 3,2 33,5 32,1
1,8 27,0 13,0 142,0 30,5
0,9 12,4 6,9 96,0 29,8
1,1 17,7 15,0 140,0 25,4
1,9 12,7 11,9 59,3 29,3
-0,9 21,4 1,6 131,0 29,2
1,3 13,5 8,6 70,7 29,2
2,0 13,4 11,5 65,4 29,1
0,6 4,2 1,9 23,1 27,9
0,7 15,5 5.8 80,8 27,2

Рассчитайте матрицы парных коэффициентов корреляции и на их основе отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для
уровня значимости 5 или 10% (γ = 0,05; γ = 0,10).

2. Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 2006г.

№ п/п Чистый доход, млрддолл. у Оборот капи­тала, млрддолл. США, х 1 Использованный капитал, млрддолл. х 2 Численность, тыс. чел., х 3
6,6 6,9 83,6 222,0
3,0 18.0 6,5 32,0
6,5 107,9 50,4 82,0
3,3 16,7 15,4 45,2
0,1 79,6 29,6 299,3
3,6 16,2 13,3 41,6
1,5 5,9 5,9 17,8
5,5 53,1 27,1 151,0
2,4 18,8 11,2 82,3
3,0 35,3 16,4 103,0
4,2 71,9 32,5 225,4
2,7 93,6 25,4 675,0
1,6 10,0 6,4 43,8
2,4 31,5 12,5 102,3
3,3 36,7 14,3 105,0
1,8 13,8 6,5 49,1
2,4 64,8 22,7 50,4
1,6 30,4 15,8 480,0
1,4 12,1 9,3 71,0
0,9 31,3 18,9 43,0

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности.

Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на их основе отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α = 0,05; α = 0,10).


©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

где n - длина временного ряда;

L - период упреждения;

-точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра a0 приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S 2 p можно представить в виде:

доверительный интервал прогноз погрешность

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 4.1 приведены значения K* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения K* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 4.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

При использовании кривых роста y t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени. Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе I, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок. В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

Можно показать, что величина d приближенно равна:

где r 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e 1 , e 2 ,.,e n -1 и e 2 , e 3 ,., e n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e t имеется сильная положительная автокорреляция (r 1 ~1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r 1 ~ - 1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r 1 ~ 0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице 4.2 В этой таблице d 1 и d 2 - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина-Уотсона; k| - число переменных в модели; n - длина временного ряда.

Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (4.10.), с теоретическими значениями d 1 и d 2 , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнении величины d с d 1 и d 2 , возможны следующие варианты:

1) Если d < d 1 , то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) Если d > d 2 , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

3) Если d 1_ < d<_ d 2 , то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности".

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d 1 , и d 2 , сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

где А - выборочная характеристика асимметрии;

Э - выборочная характеристика эксцесса;

среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается. Если выполняется хотя бы одно из неравенств

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Пример 4 .1 .

Программа выдала следующие характеристики ряда остатков:

длина ряда n=20; коэффициент асимметрии А=0,6; коэффициент эксцесса Э=0,7.

На основании этих характеристик можно считать, что:

а) случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения;

б) случайная компонента не подчиняется нормальному закону распределения;

в) требуется дополнительная проверка характера распределения случайной компоненты.

Определим:

Т.к. одновременно выполняются оба неравенства

можно считать, что случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения - вариант ответа а).

Характеристики точности моделей

Важнейшими характеристиками качества модели, выбранной для прогнозирования, являются показатели ее точности. Они описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Таким образом, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и ее точность.

О точности прогноза можно судить по величине ошибки (погрешности) прогноза. Ошибка прогноза - величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя.

Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

Эта характеристика имеет ту же размерность, что и прогнозируемый показатель и зависит от масштаба измерения уровней временного ряда. На практике широко используется относительная ошибка прогноза, выраженная в процентах относительно фактического значения показателя:

Также используются средние ошибки по модулю (абсолютные и относительные):

где n - число уровней временного ряда, для которых определялось прогнозное значение.

Из (4.18.), (4.19.) видно, что если абсолютная и относительная ошибка больше 0, то это свидетельствует о "завышенной" прогнозной оценке, если - меньше 0, то прогноз был занижен.

Очевидно, что все указанные характеристики могут быть вычислены после того, как период упреждения уже окончился, и имеются фактические данные о прогнозируемом показателе или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

В последнем случае имеющаяся информация делится на две части: по первой - оцениваются параметры модели, а данные второй части рассматриваются в качестве фактических. Ошибки прогнозов, полученные ретроспективно (на втором участке) характеризуют точность применяемой модели.

На практике при проведении сравнительной оценки моделей могут использоваться такие характеристики качества как дисперсия (S 2) или среднеквадратическая ошибка прогноза (S):

Чем меньше значения этих характеристик, тем выше точность модели. О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза. Например, если прогнозная оценка месячного уровня производства в июне совпала с фактическим значением, то это не является достаточным доказательством высокой точности модели. Надо учитывать, что единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, и наоборот. Следовательно, о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими. Простой мерой качества прогнозов может стать - относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

где р - число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q - число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Когда все прогнозы подтверждаются, q=0 и =1.

Если же все прогнозы не подтвердились, то р=0 и =0. Отметим, что сопоставление коэффициентов для разных моделей может иметь смысл при условии, что доверительные вероятности приняты одинаковыми.

Список литературы

1. Айвозян С.А. Прикладная статистика и основы прогнозирования. - 1998.

2. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике, - 1999.

3. Статистическое моделирование и прогнозирование. - учебное пособие, под. ред. Гранберга А.Г. - 1990.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

    Применение моделей кривых роста в бизнес-прогнозировании. Методы выбора кривых роста. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда, и полученные с использованием уравнения экспоненты. Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных.

    курсовая работа , добавлен 13.09.2015

    Максимальная ошибка прогноза. Геометрический смысл коэффициента. Истинная прямая регрессии. Ширина доверительного интервала. Матричная запись многофакторной регрессии. Эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора.

    контрольная работа , добавлен 30.07.2010

    Расчет доверительных интервалов прогноза для линейного тренда с использованием уравнения экспоненты. Оценка адекватности и точности моделей. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании. Экспоненциальные средние для временного ряда.

    контрольная работа , добавлен 13.08.2010

    Выработка экономических ориентиров для обоснования решений планирования и управления. Прогнозирование цены облигации. Определение интервала прогноза с заданной вероятностью. Определение коэффициента эластичности для значения прогноза цены тренда.

    контрольная работа , добавлен 04.11.2009

    Анализ изменения курса доллара и проведение аналитического выравнивания. Вычисление точечного прогресса на начало 2018 года с помощью уравнения динамического ряда. Расчет среднеквадратического отклонения от тренда для определения интервального прогноза.

    задача , добавлен 15.04.2014

    Задача на нахождение коэффициента эластичности. Точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Нахождение производной заданной функции. Эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Эластичность в точке прогноза.

    контрольная работа , добавлен 30.07.2010

    Основные элементы эконометрического анализа временных рядов. Задачи анализа и их первоначальная обработка. Решение задач кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов.

    контрольная работа , добавлен 03.06.2009

    Построение поля корреляции. Оценка данной зависимости линейной, степенной и гиперболической регрессией. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Расчет коэффициента эластичности. Определение доверительного интервала прогноза.

    контрольная работа , добавлен 13.11.2011

    Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Оценка параметров регрессий. Линейный коэффициент парной корреляции. Прогнозные значения результативного признака. Построение интервального прогноза. Ширина доверительного интервала.

    контрольная работа , добавлен 25.10.2011

    Проверка гипотезы на наличие тенденции. Обоснование периода упреждения прогноза. Выбор оптимальной прогнозной модели по коэффициенту детерминации. Получение точечного и интервального прогноза. Расчет параметров линейной и экспоненциальной моделей.

Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, о которых мы говорили выше, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд.

Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явление маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники:

1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

3) тренд характеризует некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в интервальный.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения прогноза.

Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень - время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, при построении доверительного интервала прогноза следует учесть оценку колеблемости или вариации уровней ряда. Обычно такой оценкой является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является в некоторой мере произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.

Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как

где ¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

¾ расчетное значение yt ;

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Если t = i + L то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени.

Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами и представляет собой некоторую “естественную доверительную область” для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный “доверительный интервал” теряет всякий смысл.

При условии учета стандартных ошибок оценок параметров уравнения тренда (которые по определению являются выборочными, а следовательно, могут не являться оценками неизвестных генеральных параметров из-за проявления случайной ошибки репрезентативности), и не рассматривая последовательность преобразований получим общую формулу доверительного интервала прогноза.

где - значение прогноза, рассчитанного по уравнению тренда на период t+L

¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

К - коэффициент, учитывающий ошибки коэффициентов уравнения тренда

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Коэффициент К рассчитывается следующим образом

n ¾ число наблюдений (длина ряда динамики);

L – число прогнозов

Значение К зависит только от п и L, т. е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.

Пример расчета прогноза и построения доверительного интервала прогноза.

Оптимальным трендом является линейный тренд . Необходимо рассчитать прогнозы объемов импорта в Германии на 1996 и 1997 год. Для этого необходимо определить значения уровней тренда при значениях временного фактора 14 и 15.

Объем импорта в 1996 г:

Объем импорта в 1997 г:

Стандартная ошибка тренда Sy = 30,727. Коэффициент доверия распределения Стъюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод равен 2,16. Коэффициент К равен 1,428:

Таким образом, нижняя граница первого доверительного интервала равна 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Верхняя граница равна 568,28: 473,452+30,727*2,16*1,428.

Результаты расчетов необходимо оформить в виде таблице и графически

Фактическое значение объема импорта в Германии за 1996 год

Прогнозное значение объема импорта в Германии за 1996 год

Нижняя граница 95% доверительного интервала

Фактическое значение объема импорта в Германии за 1997 год

Прогнозное значение объема импорта в Германии за 1997 год

Верхняя граница 95% доверительного интервала

Данный график рисуется следующим образом:

1) необходимо сделать копию уже существующего графика сглаживания динамического ряда линейным трендом

2) дорисовать недостающие значения (фактические уровни ряда за 1996 и 1997 год, прогнозы на 1996 и 1997 год, а также границы доверительных интервалов).

График в какой-то степени условный, так как точный масштаб вряд ли удастся выставить. Рисовать можно как от руки, так и используя инструменты рисования Excel.