Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для расчета коэффициент Фехнера в онлайн режиме. Также определяется значимость данного коэффициента (см. пример решения).
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон для проверки решения в Excel .
Расчет коэффициента Фехнера состоит из следующих этапов:
- Определяют средние значения для каждого признака (X и Y).
- Определяют знаки отклонения (-,+) от среднего значения каждого из признаков.
- Если знаки совпадают, присваивают значение А, иначе В.
- Считают количество А и В, вычисляя коэффициент Фехнера по формуле: K ф = (n a - n b)/(n a + n b) где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.
Графическое представление коэффициента Фехнера
Пример . При разработке глинистого раствора с пониженной водоотдачей в высокотемпературных условиях проводили параллельное испытание двух рецептур, одна из которых содержала 2% КМЦ и 1% Na2CO3, а другая 2% КМЦ, 1% Na2CO3 и 0,1% бихромата калия. В результате получена следующие значения Х (водоотдача через 30 с).
| X1 | 9 | 9 | 11 | 9 | 8 | 11 | 10 | 8 | 10 |
| X2 | 10 | 11 | 10 | 12 | 11 | 12 | 12 | 10 | 9 |
Следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации.
Он основан на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака ( и ) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений 
, а их знаки («+» или «-»). Определив знаки отклонения от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений () и несовпадений ().
Коэффициент Фехнера ()рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:
. (9.12)
Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадают, то и тогда . Это характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадают, то , а , что характеризует обратную связь. Коэффициент Фехнера, как и любой другой показатель тесноты связи, может принимать значения от -1 до +1.
Пример 9.3 . Имеются следующие данные о росте восьми пар братьев и сестер (таблица 9.2).
Таблица 9.2 - Данные о росте восьми пар братьев и сестер
| Рост брата, см | Рост сестры, см |
Определить тесноту зависимости между ростом братьев и сестер на основе:
а) коэффициента Фехнера;
б) коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла.
Решение:
а) Рассчитаем средние величины и :
Определив знаки отклонения от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений () и несовпадений ():
.
Коэффициент Фехнера ()рассчитывается по формуле 9.8:
.
По величине коэффициента Фехнера () можно сделать вывод о весьма тесной зависимости между и .
б) По уже имеющимся данным (графы 1-2 таблицы 9.2) для нахождения коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла построим таблицу 9.3.
Таблица 9.3 – Расчетные значения, необходимые для исчисления коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла
| Подсчет баллов | |||||||
| «+» | «-» | ||||||
| 6,5 6,5 | 1,5 1,5 6,5 6,5 | -0,5 -1 -2 2,5 -0,5 -1,5 | 0,25 6,25 0,25 2,25 | - | - | ||
В данном примере отдельные значения и повторяются. При ранжировании повторяющихся значений, им присваивается ранг, рассчитанный как средняя арифметическая из суммы мест, которые они занимают по возрастанию.
Расчет рангов показан в графах 3 и 4.
Для случая повторяющихся рангов есть особые скорректированные формулы и для коэффициента Спирмэна, и для коэффициента Кендэла. Однако на практике часто пользуются приведенной ранее формулой Спирмэна и для случая повторяющихся рангов, поскольку ошибку она дает весьма малую:
.
Формула коэффициента Кендэла для повторяющихся рангов имеет вид:
,
где , как и раньше, a и -показатели, корректирующие максимальную сумму баллов и определяемые по формуле , где - число повторяющихся рангов в соответствующем ряду и :
Так как значения рангов идут строго в возрастающем порядке, то следим лишь за поведением . После первой пары значений рангов, где в шести случаях идут значения и ни одного случая, где . Это означает, что в графу 7 мы ставим число «6», а в графу 8число «0». Далее после второй пары значений рангов, где в четырех случаях идут значения и ни одного случая, где . Это означает, что в графу 7 мы ставим число «4», а в графу 8число «0». ». В случае, если бы после второй пары значений рангов, где в трех случаях шли бы значения и два случая, где - это означало бы, что в графу 7 мы ставим число «3», а в графу 8число «2» и т.д.
Расчет и показан в графах 7 и 8. По результатам подсчетов .
Отсюда коэффициент корреляции рангов Кендэла:
По величине коэффициента () можно сделать вывод о весьма тесной зависимости между и , т.е. рост сестры весьма зависим от роста её брата.
Говоря о расчете коэффициента Кендэла, следует еще раз подчеркнуть, что если наблюдаемые единицы совокупности записаны неупорядоченно по одному из признаков (таблица 9.2.), то после ранжирования значений и , ранги одного из признаков, например , следует переписать, расположив их строго в порядке возрастания (или убывания), а для второго признака сохранить значения рангов, соответствующие значениям каждого в исходных данных (таблица 9.3).
Коэффициент конкордации
Корреляция рангов ()может определяться не только для двух, но и для большего числа показателей (факторов). Исчисляемый в этом случае показатель именуется коэффициентом конкордации ()и рассчитывается по формуле:
, (9.13)
где - количество коррелируемых факторов;
Число наблюдений;
- сумма квадратов отклонений суммы рангов по факторам от их средней арифметической, т.е.
а) 
или, что по значению тоже самое, (9.14)
б) 
где - ранг -го показателя. (9.15)
Коэффициент конкордации часто используется в экспертных оценках для определения согласованности мнений экспертов в распределение мест (рангов) между исследуемыми факторами или объектами по их приоритетности.
Пример 9.4. Пусть имеются следующие данные по пяти фирмам (графы 1-4 таблицы 9.4).
Таблица 9.4 – Исходные данные и промежуточные расчеты коэффициентов конкордации
| Фирма | Прибыль, тыс. руб. | Стоимость оборотных средств, млн. руб. | Затраты на 100 руб. продукции, руб. | Ранги факторов | Сумма рангов | Квадрат суммы рангов | ||
| 2,0 2,5 1,8 2,2 2,4 | ||||||||
| Σ |
Определить тесноту зависимости между с помощью коэффициента конкордации.
Решение:
1. Ранжираем каждый и трех показателей (графы 5-7).
2. Находим сумму рангов по каждой строке (графа 8) и общую сумму пяти строк
3. Возводим в квадрат сумму рангов в каждой строке и находим сумму пяти строк (графа 9):
.
4. Находим , используя формулу 9.11:
.
5. Рассчитаем коэффициент конкордации:
Учитывая малое значение коэффициента конкордации, можно сказать, что зависимость между рассматриваемыми показателями весьма незначительна.
Существуют и другие коэффициенты для измерения тесноты зависимости (коэффициенты ассоциации и контингенции ; коэффициент взаимной сопряженности Пирсона ; коэффициент Чупрова ), которые применяются достаточно редко.
Непараметрические методы
Применение корреляционного и регрессионного анализа требует, чтобы все признаки были количественно измеренными. Построение аналитических группировок предполагает, что количественным должен быть результативный признак. Параметрические методы основаны на использовании основных количественных параметров распределения (средних величин и дисперсий).
Вместе с тем в статистике применяются также непараметрические методы , с помощью которых устанавливается связь между качественными (атрибутивными) признаками . Сфера их применения шире, чем параметрических, поскольку не требуется соблюдения условия нормальности распределения зависимой переменной, однако при этом снижается глубина исследования связей. При изучении зависимости между качественными признаками не ставится задача представления ее уравнением. Здесь речь идет только об установлении наличия связи и измерении ее тесноты.
В практике статистических исследований приходится иногда анализировать связи между альтернативными признаками , представленными только группами с противоположными (взаимоисключающими) характеристиками. Тесноту связи в этом случае можно оценить, вычислив коэффициент ассоциации.
Для расчета коэффициента ассоциации строится четырехклеточная корреляционная таблица, которая носит название таблицы «четырех полей» и имеет следующий вид:
| a | b | a+b |
| c | d | c+d |
| a+c | b+d | a+b+c+d |
Применительно к таблице «четырех полей» с частотами и коэффициент ассоциации выражается формулой:
. (9.16)
Коэффициент ассоциации изменяется от -1 до +1; чем ближе к +1 или -1, тем сильнее связаны между собой изучаемые признаки.
Если не менее 0,3, то это свидетельствует о наличии связи между качественными признаками.
Пример 9.5 . Имеющиеся данные о росте отцов и сыновей представлены в таблице 9.5.
Таблица 9.5 - Распределение отцов и сыновей по росту, чел.
| Рост сына | Рост отца | Всего | |
| Ниже среднего | Выше среднего | ||
| Ниже среднего | |||
| Выше среднего | |||
| Итого |
Подсчитаем коэффициент ассоциации по данным таблицы 9.5:
Поскольку , между ростом отцов и сыновей существует корреляционная связь.
Если по каждому из взаимосвязанных признаков выделяется число групп более двух, то для подобного рода таблиц теснота связи между качественными признаками может быть измерена с помощью показателя взаимной сопряженности А.A. Чупрова:
(9.17)
где - число возможных значений первой статистической величины (число групп по столбцам);
Число возможных значений второй статистической величины (число групп по строкам);
Показатель взаимной сопряженности (определяется как сумма отношений квадратов частот клетки таблицы распределения к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки).
Вычтя из этой суммы единицу, получим .
Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова изменяется от 0 до 1, но уже при значении 0,3 можно говорить о тесной связи между вариацией изучаемых признаков.
Пример 9.6. Данные об уровне образования членов 100 семей приведены в таблице 9.6.
Таблица 9.6- Распределение семей по уровню образования мужа и жены
Примечание: частоты - верхние строки; их квадраты (в скобках) - средние строки; квадраты частот, деленные на суммы частот по столбцу - нижние строки; в итоговых столбцах - сумма частот, сумма результатов деления (А), а также результат деления нижнего числа на верхнее - последний столбец (В).
Тогда 
, .
Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова:
.
Его значение показывает заметную связь между уровнями образования мужа и жены при формировании семьи.
Рассмотрим ряд простейших показателей тесноты связи, которые приблизительно измеряют зависимости между признаком-фактором «х » и признаком-результатом «y ».
Коэффициент Фехнера (1801-1887 г.г.) измеряет тесноту связи по числу совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней. Степень тесноты связи такая же как у коэффициента корреляции. Он равен:
с – число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений от средней по признаку-фактору – «х » и признаку-результату «y ».
н – число несовпадений знаков отклонений.
Этот показатель принимает значение от -1 до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то н = 0 и тогда = +1, что говорит о возможном наличии прямой связи.
Если же знаки всех отклонений – разные, то с = 0 и = -1, что говорит о возможном наличии обратной связи. Рассчитаем этот показатель (см. табл. 16). Рассчитаем средние величины по «х » и по «y ».
Таблица 16
Расчет коэффициентов Фенхера и корреляции рангов Спирмэна
| №п/п | Среднесписочная численность работников «х» | Товарная продукция, тыс.руб. «y» | Совпадение или несовпадение знаков |  | |||||
| 2,5 | - | - | с | +2 | |||||
| 5,0 | - | + | н | +3 | |||||
| 6,0 | + | + | с | +2 | |||||
| 3,0 | + | - | н | -2 | |||||
| 1,6 | + | - | н | -6 | |||||
| 2,0 | - | - | с | +2 | |||||
| 1,5 | - | - | с | -3 | |||||
| 10,5 | + | + | с | +2 | |||||
| итого | 32,1 | с = 5 н = 3 | +11 -11 | 
=74
|
Средняя списочная численность рабочих равна:
Средний объем товарной продукции равна:
Затем находим отклонения от средних величин и посчитаем число совпадений и несовпадений знаков.
Коэффициент Фехнера составит 
, что говорит о слабой связи прямой между списочной численностью и товарной продукцией.
Этот показатель целесообразно использовать для установления факта наличия при небольшом объеме исходной информации.
Коэффициент корреляции рангов Спирмэна равен:
, где
– количество рангов
– разность между рангов
Р – ранг (порядковые номера вариантов).
Он варьирует от -1 до +1 и измеряет тесноту связи при небольшом количестве исходной информации и измеряет тесноту связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, что значение этих признаков могут быть проранжированны по степени убывания или возрастания. Коэффициент корреляции рангов Спирмена равен:
или 12%
Теснота связи между признаком «x» и признаком «y» - слабая, прямая.
Коэффициент ассоциации применяется для изменения тесноты связи для качественных альтернативных признаков. Он равен:
, где
a – противоположно b
c – противоположно d
Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица «четырех полей»), стратегическое сказуемое, которое схематически может быть представлено в следующем виде (см. табл. 17)
Таблица 17
Расчетная таблица для коэффициента ассоциации
Коэффициент ассоциации равен:
или 68,8%
Данный показатель показывает частоту связи между показателями оценок, работающего по специальности и не по специальности. Связь между показателями будет тесная (68,8%), т.е. чем больше студенты будут работать по специальности, тем больше будет положительных оценок.
Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.
Как правило расчет коэффициента корреляции при определении тесноты связи производится на базе небольшого числа исходных данных – выборочных данных.
В этой связи возникает необходимость оценить существенности коэффициента корреляции, которая дает возможность распространить выводы по результатам выборочных данных на генеральную совокупность. Критерии оценки существенности расчета коэффициента корреляции основаны на условии нормального распределения значений признака в генеральной совокупности. Рассмотрим некоторые из них: при большом объеме выборки и при малом объеме выборки .
При большом объеме выборки
При большой выборке, отобранной из генеральной совокупности нормального распределения, предполагается считать распредение коэффициента корреляции близко к нормальному со средней, равной «r» и дисперсией
, а среднеквадратическая ошибка коэффициента
корреляции тогда будет равна:
, где
r – коэффициент корреляции выборочной совокупности;
n – объем выборки;
k = n – 2 – число степеней свободы при линейной зависимости.
Если величина > в раз, или 
>
Найдем для сгруппированных данных (см. таб. 14) среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции:
, тогда
С вероятностью0,95 и числом степеней свободы k = 50 – 2 = 48
, 
.
Поскольку 
> 
, следует, что с вероятностью Р = 0,95
и числом степеней свободы k = 48 можно утверждать о существенности выборочного коэффициента корреляции, т.е. связь между х
и y
– значимая.
Для генеральной совокупности коэффициент корреляции будет находится в пределах.
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции будет не ниже 46,6% и не выше 80,4%.
При малой выборки
Для малого объема выборочной совокупности 
для оценки значимости коэффициента корреляции.
Если > 
, то расчетный коэффициент корреляции существенен и связь между х
и y
вполне реальна. Если < 
, то связь между х
и y
несущественна и корреляционная связь в генеральной совокупности отсутствует.
По данным таблицы 15
, а с вероятностью 0,95 и числом степеней свободы k = 10 – 2 = 8
, 
.
Значит связь между х (простоями) и y – (выпуском продукции) существенна, т.к.
> 
8. Проверка возможности использования прямолинейной функции – гипотезы Кендэла о линейной корреляционной зависимости.
Для проведения гипотезы Кендэла о линейной зависимости определяется величина вероятности, которая рассчитывается по следующей формуле:
, где
n – объем совокупности
m – число групп по признаку фактору х
Если критерий найденный с определенной вероятностью и критериями свободы (
и 
) будут меньше F
расчетного, то гипотеза о линейной связи между х
и у
отвергается. Если наоборот – то возможность использовать линейную функцию не опровергается.
По данным таблицы 14 рассчитаем этот критерий.
Критерий свободы , а . С вероятностью 
, 
и 
табличное значение - критерия = 3,2.
Расчетный критерий равен:
Поскольку 
меньше 
, то это не позволяет отклонить гипотезу о линейной связи между производительностью труда – х
и товарной продукцией – y
.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое функциональные и корреляционные связи?
2. Какие задачи стоят перед корреляционным анализом?
3. Назовите виды корреляционной зависимости и рассмотрите их.
4. Как графически изображается корреляционная зависимость для несгруппированных и сгруппированных данных?
5. Эмпирическая линия регрессии и её характеристика.
6. Теоретическая линия регрессии и её характеристика.
7. Показатели тесноты связи и их характеристика.
8. Сущность коэффициента корреляции.
9. Характеристика эмпирического корреляционного отношения.
10. Теоретическое корреляционное отношение и его характеристика.
11. Простейшие показатели тесноты связи: коэффициент Фехнера, коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации.
12. Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.
13. Гипотеза Кендела о линейной корреляционной зависимости.
Тема 9. Выборочный метод.
1. Общие понятия о выборочном методе и причины, вызывающие выборочное обследование.
2. Условия правильности проведения выборочного отбора.
3. Задачи выборки.
4. Способы отбора.
И некоторые ранговые коэффициенты
Кроме рассмотренных в подразд. 10.2 коэффициента кор-
Реляции, коэффициента детерминации, корреляционного от-
Ношения, существуют и другие коэффициенты для оценки
Степени тесноты корреляционной связи между изучаемыми
Явлениями, причем формулы для их нахождения достаточно
Просты. Рассмотрим некоторые из таких коэффициентов.
Коэффициент корреляции знаков Фехнера
Этот коэффициент является простейшим показателем
Степени тесноты связи, он был предложен немецким ученым
Г. Фехнером. Данный показатель основан на оценке степени
Согласованности направлений отклонений индивидуальных
Значений факторного и результативного признаков от соот-
Ветствующих средних значений. Для его определения вычис-
Ляют средние значения результативного () и факторного ()
Признаков, а затем находят знаки отклонений от средних для
Всех значений результативного и факторного признаков. Если
сравниваемое значение больше среднего, то ставится знак “+”,
а если меньше - знак “-”. Совпадение знаков по отдельным
значениям рядов x и y означает согласованную вариацию, а их
Несовпадение - нарушение согласованности.
Коэффициент Фехнера находится по следующей формуле:
, (10.40)
где С - число совпадений знаков отклонений индивидуаль-
Ных значений от средней величины;
Н - число несовпадений знаков отклонений индивидуаль-
Ных значений от средней величины.
Заметим, что -1 ≤ Кф ≤ 1. При Кф = ±1 имеем полную пря-
мую или обратную согласованность. При Кф = 0 - связь между
Рядами наблюдений отсутствует.
По исходным данным примера 10.1 рассчитаем коэффици-
Ент Фехнера. Необходимые данные для его определения помес-
тим в табл. 10.4.
Из табл. 10.4 находим, что С = 6; Н = 0, поэтому по форму-
ле (10.40) получаем: , т. е. полную прямую зависимость
между хищениями оружия (х ) и вооруженными преступлени-
ями (y ). Полученное значение Кф подтверждает вывод, сделан-
Ный после вычисления коэффициента корреляции о том, что
Между рядами x и y существует достаточно близкая прямая
Линейная зависимость.
Таблица 10.4
Хищение
оружия, x
Вооруженные
преступления, y
Знаки отклонения от средней
773 4481 − −
1130 9549 − −
1138 8873 − −
1336 12160 + +
1352 18059 + +
1396 19154 + +
Коэффициент корреляции рангов Спирмэна
Данный коэффициент относится к ранговым, т. е. коррели-
Руются не сами значения факторного и результативного при-
Знаков, а их ранги (номера их мест, занимаемых в каждом ряду
Значений по возрастанию или убыванию). Коэффициент кор-
Реляции рангов Спирмэна основан на рассмотрении разности
Рангов значений факторного и результативного признаков. Для
его нахождения используется следующая формула:
, (10.41)
Где - квадрат разности рангов.
Рассчитаем коэффициент Спирмэна по данным рассмат-
Риваемого примера 10.1. Так как значение факторного призна-
ка х мы изначально расположили по возрастанию, то ряд х ран-
жировать не надо. Ранжируем (от меньшего к большему) ряд y .
Все необходимые данные для расчета помещены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
Ранги Rgx ряда х Ранги Rgy ряда y |di | = |Rgxi − Rgyi |
Теперь по формуле (10.41) получаем
Заметим, что -1 ≤ ρc ≤ 1, т. е. полученное значение показыва-
Ет, что между хищениями оружия и вооруженными преступле-
Потребности экономической и социальной практики требуют разработки методов количественного описания процессов, позволяющих точно регистрировать не только количественные, но и качественные факторы. При условии, что значения качественных признаков могут быть упорядочены, или проранжированы по степени убывания (возрастания) признака, возможно оценить тесноту связи между качественными признаками. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. И реальным содержанием измерений в ранговых шкалах является тот порядок, в котором выстраиваются объекты по степени выраженности измеряемого признака.
В практических целях использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.
В качестве примера можно рассмотреть наличие связи между обеспеченностью товарной продукцией ряда предприятий и накладными расходами по реализации. В ходе 10 наблюдений получена следующая таблица:
Упорядочим значения X по возрастанию, при этом каждому значению поставим в соответствие его порядковый номер (ранг):
Таким образом,
Построим следующую таблицу, куда записываются пары X и Y, полученные в результате наблюдения со своими рангами:
Обозначая разность рангов как, запишем формулу вычисления выборочного коэффициента корреляции Спирмена:
где n - число наблюдений, оно же число пар рангов.
Коэффициент Спирмена обладает следующими свойствами:
Если между качественными признаками X и Y имеется полная прямая зависимость в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена равен 1. Действительно, подставив в формулу, получим 1.
Если между качественными признаками X и Y имеется полная обратная зависимость в том смысле, что рангу соответствует ранг, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена равен -1.
Действительно, если
Подставив значение в формулу коэффициента корреляции Спирмена, получим -1.
Если между качественными признаками нет ни полной прямой, ни полной обратной связи, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена заключен между -1 и 1, причем чем ближе к 0 его значение, тем связь между признаками меньше.
По данным вышеприведенного примера найдем значение P, для этого достроим таблицу значениями и:
Выборочный коэффициент корреляции Кендалла. Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла.
Пусть ранги объектов выборки объема n равны:
по признаку X:
по признаку Y: . Допустим, что правее имеется рангов, больших, правее имеется рангов, больших, правее имеется рангов, больших. Введем обозначение суммы рангов
Аналогично введем обозначение как сумму количества рангов, лежащих правее, но меньших.
Выборочный коэффициент корреляции Кендалла записывается формулой:
Где n - объем выборки.
Коэффициент Кендалла обладает теми же свойствами, что и коэффициент Спирмена:
Если между качественными признаками X и Y имеется полная прямая зависимость в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент корреляции Кендалла равен 1. Действительно, правее имеется n-1 рангов, больших, поэтому, таким же образом устанавливаем, что. Тогда. И коэффициент Кендалла равен: .
Если между качественными признаками X и Y имеется полная обратная зависимость в том смысле, что рангу соответствует ранг, то выборочный коэффициент корреляции Кендалла равен -1. Правее нет рангов, больших, поэтому. Аналогично. Подставляя значение R+=0 в формулу коэффициента Кендалла, получим -1.
При достаточно большом объме выборки и при значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к 1, имеет место приближенное равенство:
Коэффициент Кендалла дает более осторожную оценку корреляции, чем коэффициент Спирмена? (числовое значение? всегда меньше, чем). Хотя вычисление коэффициента? менее трудоемко, чем вычисление коэффициента, последний легче пересчитать, если к ряду добавляется новый член.
Важное достоинство коэффициента состоит в том, что с его помощью можно определить коэффициент частной ранговой корреляции, позволяющий оценить степень "чистой" взаимосвязи двух ранговых признаков, устранив влияние третьего:
Значимость коэффициентов ранговой корреляции. При определении силы ранговой корреляции на основе выборочных данных необходимо рассмотреть следующий вопрос: с какой степенью надежности можно полагаться на заключение о том, что в генеральной совокупности существует корреляция, если получен некоторый выборочный коэффициент ранговой корреляции. Другими словами, следует проверить значимость наблюдавшихся корреляций рангов исходя из гипотезы о статистической независимости двух рассматриваемых ранжировок.
При сравнительно большом объеме n выборки проверка значимости коэффициентов ранговой корреляции может осуществляться с помощью таблицы нормального распределения (табл. 1 приложения). Для проверки значимости коэффициента Спирмена? (при n>20) вычисляют значение
а для проверки значимости коэффициента Кендалла? (при n>10) вычисляют значение
где S=R+- R-, n - объем выборки.
Далее задаются уровнем значимости?, определяют по таблице критических точек распределения Стьюдента критическое значение tкр(?,k) и сравнивают с ним вычисленное значение или. Число степеней свободы принимается k = n-2. Если или > tкр, то значения или признаются значимыми.
Коэффициент корреляции Фехнера.
Наконец, следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации. Основой его вычисления является учет направления отклонений от средней арифметической варианты каждого вариационного ряда и определение согласованности знаков этих отклонений для двух рядов, связь между которыми измеряется.
Данный коэффициент определяется по формуле:
где na - количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средней арифметической; nb - соответственно количество несовпадений.
Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах -1,0<= Кф<= +1,0.
Прикладные аспекты ранговой корреляции. Как уже отмечалось, коэффициенты ранговой корреляции могут использоваться не только для качественного анализа взаимосвязи двух ранговых признаков, но и при определении силы связи между ранговым и количественным признаками. В этом случае значения количественного признака упорядочиваются и им приписываются соответствующие ранги.
Существует ряд ситуации, когда вычисление коэффициентов ранговой корреляции целесообразно и при определении силы связи двух количественных признаков. Так, при существенном отклонении распределения одного из них (или обоих) от нормального распределения определение уровня значимости выборочного коэффициента корреляции r становится некорректным, в то время как ранговые коэффициенты? и? не сопряжены с такими ограничениями при определении уровня значимости.
Другая ситуация такого рода возникает, когда связь двух количественных признаков имеет нелинейный (но монотонный) характер. Если количество объектов в выборке невелико или если для исследователя существенен знак связи, то использование корреляционного отношения? может оказаться здесь неадекватным. Вычисление же коэффициента ранговой корреляции позволяет обойти указанные трудности.
Практическая часть
Задача 1. Корреляционно-регрессионный анализ
Постановка и формализация задачи:
Дана эмпирическая выборка, составленная на основе ряда наблюдений за состоянием оборудования (на предмет отказа) и количеством изготовленных изделий. Выборка неявно характеризует взаимосвязь между объемом отказавшего оборудования и количеством изготовленных изделий. По смыслу выборки видно, что изготовленные изделия производятся на оставшемся в строю оборудовании так как чем больше % отказавшего оборудования, тем меньше изготовленных изделий. Требуется провести исследование выборки на корреляционно-регрессионную зависимость, то есть установить форму зависимости, оценить функцию регрессии (регрессионный анализ), а также выявить связь между случайными переменными и оценить ее тесноту (корреляционный анализ). Дополнительной задачей корреляционного анализа является оценка уравнения регрессии одной переменной по другой. Кроме того, необходимо спрогнозировать количество выпущенных изделий при 30%-ном отказе оборудования.
Формализуем приведенную выборку в таблице, обозначив данные «Отказ оборудования, %» как X, данные «Количество изделий» как Y:
Исходные данные. Таблица 1
По физическому смыслу задачи видно, что количество выпущенных изделий Y напрямую зависит от % отказа оборудования, то есть налицо зависимость Y от X. При проведении регрессионного анализа требуется найти математическую зависимость (регрессию), связывающую величины X и Y. При этом регрессионный анализ, в отличие от корреляционного, предполагает, что величина X выступает как независимая переменная, или фактор, величина Y - как зависимая от нее, или результативный признак. Таким образом, требуется произвести синтезирование адекватной экономико-математической модели, т.е. определить (найти, подобрать) функцию Y = f(X), характеризующую зависимость между величинами X и Y, используя которую можно будет спрогнозировать значение Y при X = 30. Решение данной задачи может быть выполнено с помощью корреляционно-регрессионного анализа.
Краткий обзор методов решения корреляционно-регрессионных задач и обоснование выбираемого метода решения.
Методы регрессионного анализа по числу факторов, влияющих на результативный признак, подразделяются на одно- и многофакторные. Однофакторные - число независимых факторов = 1, т.е. Y = F(X)
многофакторный - число факторов > 1, т.е.
По числу исследуемых зависимых переменных (результативных признаков) регрессионные задачи также можно разделить на задачи с одним и многими результативными признаками. В общем виде задача с многими результативными признаками может быть записана:
Метод корреляционно-регрессионного анализа заключается в нахождении параметров аппроксимирующей(приближающей) зависимости вида
Поскольку в приведенной задаче фигурирует только одна независимая переменная, т. е. исследуется зависимость только от одного фактора, влияющего на результат, следует применить исследование на однофакторную зависимость, или парную регрессию.
При наличии только одного фактора зависимость определяется в виде:
Форма записи конкретного уравнения регрессии зависит от выбора функции, отображающей статистическую связь между фактором и результативным признаком и включает следующие:
линейная регрессия, уравнение вида,
параболическая, уравнение вида
кубическая, уравнение вида
гиперболическая, уравнение вида
полулогарифмическая, уравнение вида
показательная, уравнение вида
степенная, уравнение вида.
Нахождение функции сводится к определению параметров регрессионного уравнения и оценке достоверности самого уравнения. Для определения параметров можно использовать как метод наименьших квадратов, так и метод наименьших модулей.
Первый из них заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений Yi от рассчитанных средних Yi, была минимальной.
Метод наименьших модулей заключается в минимизации суммы модулей разности эмпирических значений Yi и рассчитанных средних Yi.
Для решения задачи выберем метод наименьших квадратов, как наиболее простой и дающий хорошие по статистическим свойствам оценки.
Технология решения задачи регрессионного анализа с помощью метода наименьших квадратов.
Определить вид зависимости (линейная, квадратичная, кубическая и т.д.) между переменными можно с помощью оценки величины отклонения фактического значения y от расчетного:
где - эмпирические значения, - расчетные значения по аппроксимирующей функции. Оценивая значения Si для различных функций и выбирая наименьшее из них, подбираем аппроксимирующую функцию.
Вид той или иной функции определяется с помощью нахождения коэффициентов, которые находятся для каждой функции как решения определенной системы уравнений:
линейная регрессия, уравнение вида, система -
параболическая, уравнение вида, система -
кубическая, уравнение вида, система -
Решив систему, находим, с помощью которых приходим к конкретному выражению аналитической функции, имея которую, находим расчетные значения. Далее есть все данные для нахождения оценки величины отклонения S и анализа на минимум.
Для линейной зависимости оцениваем тесноту связи между фактором X и результативным признаком Y в виде коэффициента корреляции r:
Среднее значение показателя;
Среднее значение фактора;
y - экспериментальное значение показателя;
x - экспериментальное значение фактора;
Среднеквадратическое отклонение по х;
Среднеквадратическое отклонение по y.
Если коэффициент корреляции r = 0, то считают, что связь между признаками незначительна либо отсутствует, если r = 1, то между признаками существует весьма высокая функциональная связь.
Используя таблицу Чеддока, можно провести качественную оценку тесноты корреляционной связи между признаками:
Таблица Чеддока Таблица 2.
Для нелинейной зависимости определяется корреляционное отношение (0 1) и индекс корреляции R, которые вычисляются по следующим зависимостям.
где значение - значение показателя, вычисленное по регрессионной зависимости.
В качестве оценки точности вычислений используем величину средней относительной ошибки аппроксимации
При высокой точности лежит в пределах 0-12%.
Для оценки подбора функциональной зависимости используем коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации используется как «обобщенная» мера качества подбора функциональной модели, поскольку он выражает соотношение между факторной и общей дисперсией, точнее долю факторной дисперсии в общей.
Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия определяется по формуле:
где m - число параметров уравнения регрессии, n - число наблюдений. Величина сравнивается с критическим значением, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы и. Если, то величина индекса корреляции R признается существенной.
Для выбранной формы регрессии вычисляются коэффициенты уравнения регрессии. Результаты вычислений для удобства включаются в таблицу следующей структуры (в общем виде, количество колонок и их вид меняются в зависимости от вида регрессии):
Таблица 3
Решение задачи.
Провелись наблюдения за экономическим явлением - зависимостью выпуска изделий от процента отказа оборудования. Получена совокупность значений.
Выбранные значения описаны в таблице 1.
Строим график эмпирической зависимости по приведенной выборке (рис. 1)
По виду графика определяем, что аналитическую зависимость можно представить в виде линейной функции:
Рассчитаем парный коэффициент корреляции для оценки взаимосвязи между X и Y:
Построим вспомогательную таблицу:
Таблица 4
Решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов и:
из первого уравнения, подставляя значение
во второе уравнение, получим:
Находим
Получаем вид уравнения регрессии:
9. Для оценки тесноты найденной связи воспользуемся коэффициентом корреляции r:
По таблице Чеддока устанавливаем, что для r = 0.90 связь между X и Y весьма высокая, следовательно достоверность уравнения регрессии также высока. Для оценки точности вычислений используем величину средней относительной ошибки аппроксимации:
Считаем, что величина обеспечивает высокую степень достоверности уравнения регрессии.
Для линейной связи между X и Y индекс детерминации равен квадрату коэффициента корреляции r: . Следовательно, 81% общей вариации объясняется изменением факторного признака X.
Для оценки значимости индекса корреляции R, который в случае прямолинейной зависимости по абсолютной величине равен коэффициенту корреляции r, применяется F-критерий Фишера. Определяем фактическое значение по формуле:
где m - число параметров уравнения регрессии, n - число наблюдений. То есть n = 5, m = 2.
С учетом принятого уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы и получаем критическое табличное значение. Поскольку, величина индекса корреляции R признается существенной.
Вычислим прогнозное значение Y при X = 30:
Построим график найденной функции:
11. Определяем ошибку коэффициента корреляции по величине среднеквадратичного отклонения
а затем определяем значение нормированного отклонения
Из соотношения > 2 с вероятностью 95% можно говорить о значимости полученного коэффициента корреляции.
Задача 2. Линейная оптимизация
Вариант 1.
Планом развития региона предполагается ввести в действие 3 нефтяных месторождения с суммарным объемом добычи равным 9 млн.т. На первом месторождении объем добычи составляет не менее 1 млн.т, на втором - 3 млн. т, на третьем - 5 млн.т. Для достижения такой производительности необходимо пробурить не менее 125 скважин. Для реализации данного плана выделено 25 млн. руб. капитальных вложений (показатель К) и 80 км труб (показатель L).
Требуется определить оптимальное (максимальное) количество скважин для обеспечения плановой производительности каждого месторождения. Исходные данные по задаче приведены в таблице.
Исходные данные
Постановка задачи приведена выше.
Формализуем заданные в задаче условия и ограничения. Целью решения данной оптимизационной задачи является нахождение максимального значения добычи нефти при оптимальном количестве скважин по каждому месторождению с учетом существующих ограничений по задаче.
Целевая функция в соответствии с требованиями задачи примет вид:
где - количество скважин по каждому месторождению.
Существующие ограничения по задаче на:
длину прокладки труб:
число скважин на каждом месторождении:
стоимость строительства 1 скважины:
Задачи линейной оптимизации решаются, например, следующими методами:
Графически
Симплекс-методом
Использование графического способа удобно только при решении задач линейной оптимизации с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата. Рассмотрим общий метод решения задач линейной оптимизации называемый симплекс-методом.
Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. Рассматриваются итерационные процедуры такого рода, обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций.
Для решения оптимизационной задачи с помощью симплекс-метода необходимо чтобы число неизвестных Xi было больше числа уравнений, т.е. система уравнений
удовлетворяла отношению m A=был равен m. Обозначим столбца матрицы A как, а столбец свободных членов как Базисным решением системы (1) называется набор из m неизвестных которые являются решением системы (1). Кратко алгоритм симплекс-метода описывается следующим образом: Исходное ограничение, записанное в виде неравенства типа <= (=>) , можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения (вычитая избыточную переменную из левой части) . Например, в левую часть исходного ограничения вводится остаточная переменная, в результате чего исходное неравенство обращается в равенство Если исходное ограничение определяет расход труб, то переменную следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть данного ресурса. Максимизация целевой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком. То есть в нашем случае эквивалентна Составляется симплекс-таблица для базисного решения следующего вида: В данной таблице обозначают, что после решения задачи в этих клетках будет стоять базисное решение. - частные от деления столбца на один из столбцов; - дополнительные множители обнуления значений в клетках таблицы, относящихся к разрешающему столбцу. - min значение целевой функции -Z, - значения коэффициентов в целевой функции при неизвестных. Среди значений находят любое положительное. Если такого нет, то задача считается решенной. Выбирают любой столбец таблицы, в котором есть, этот столбец называется «разрешающим» столбцом. Если среди элементов разрешающего столбца нет положительных чисел, то задача неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве ее решений. Если положительные числа в разрешающем столбце присутствуют, переходят к пункту 5. Столбец заполняется дробями, в числителе которых - элементы столбца, а в знаменателе - соответствующие элементы разрешающего столбца. Из всех значений выбирается наименьшее. Строка, в которой получилось наименьшееназывается «разрешающей» строкой. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находят разрешающий элемент, который выделяют каким-либо образом, например, цветом. На основе первой симплекс-таблицы составляется следующая, в которой: Заменяется вектор-строка на вектор-столбец разрешающая строка заменяется этой же строкой, поделенной на разрешающий элемент каждая из остальных строк таблицы заменяется на сумму этой строки с разрешающей, умноженной на специально подобранный дополнительный множитель с целью получения 0 в клетке разрешающего столбца. С новой таблицей обращаемся у пункту 4. Решение задачи. Исходя из постановки задачи имеем следующую систему неравенств: и целевую функцию Преобразуем систему неравенств в систему уравнений, введя дополнительные переменные: Целевую функцию приведем к ей эквивалентной: Построим исходную симплекс-таблицу: Выберем разрешающий столбец. Рассчитаем столбец: Заносим значения в таблицу. По наименьшему из них = 10 определяем разрешающую строку: . На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находим разрешающий элемент = 1. Заполняем часть таблицы дополнительными множителями, такими, что: помноженная на них разрешающая строка, добавленная к остальным строкам таблицы, образовывает 0-ли в элементах разрешающего столбца. Составляем вторую симплекс-таблицу: В ней разрешающим столбцом берем, вычисляем значения, заносим их в таблицу. По минимальному получаем разрешающую строку. Разрешающим элементом будет 1. Находим дополнительные множители, заполняем столбцы. Составляем следующую симплекс-таблицу: Аналогичным образом, находим разрешающий столбец, разрешающую строку и разрешающий элемент = 2. Строим следующую симплекс-таблицу: Поскольку в строке -Z нет положительных значений, эта таблица является конечной. Первый столбец дает искомые значения неизвестных, т.е. оптимальное базисное решение: При этом значение целевой функции -Z = -8000, что эквивалентно Zmax = 8000. Задача решена. Задача 3. Кластерный анализ Постановка задачи: Провести разбиение объектов на основании данных, приведенных в таблице. Выбор метода решения провести самостоятельно, построить график зависимости данных. Вариант 1. Исходные данные Обзор методов решения указанного типа задач. Обоснование метода решения. Задачи кластерного анализа решаются с помощью следующих методов: Объединение или метод древовидной кластеризации используется при формировании кластеров «несходства» или «расстояния между объектами». Эти расстояния могут определяться в одномерном или многомерном пространстве. Двувходовое объединение используется (относительно редко) в обстоятельствах, когда данные интерпретируются не в терминах «объектов» и «свойств объектов», а в терминах наблюдений и переменных. Ожидается, что и наблюдения и переменные одновременно вносят вклад в обнаружение осмысленных кластеров. Метод К-средних. Используется, когда уже имеется гипотеза относительно числа кластеров. Можно указать системе образовать ровно, например, три кластера так, чтобы они были настолько различны, насколько это возможно. В общем случае метод K-средних строит ровно K различных кластеров, расположенных на возможно больших расстояниях друг от друга. Существуют следующие способы измерения расстояний: Евклидово расстояние. Это наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом: Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле: Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле: Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния. Степенное расстояние вычисляется по формуле: где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p, равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида. Процент несогласия. Эта мера используется в тех случаях, когда данные являются категориальными. Это расстояние вычисляется по формуле: Для решения поставленной задачи выберем метод объединения (древовидной кластеризации) как наиболее отвечающий условиям и постановке задачи (провести разбиение объектов). В свою очередь метод объединения может использовать несколько вариантов правил связи: Одиночная связь (метод ближайшего соседа). В этом методе расстояние между двумя кластерами определяется расстоянием между двумя наиболее близкими объектами (ближайшими соседями) в различных кластерах. То есть любые два объекта в двух кластерах ближе друг к другу, чем соответствующее расстояние связи. Это правило должно, в известном смысле, нанизывать объекты вместе для формирования кластеров, и результирующие кластеры имеют тенденцию быть представленными длинными "цепочками". Полная связь (метод наиболее удаленных соседей). В этом методе расстояния между кластерами определяются наибольшим расстоянием между любыми двумя объектами в различных кластерах (т.е. "наиболее удаленными соседями"). Существует также множество других методов объединения кластеров, подобных этим (например, невзвешенное попарное соединение, взвешенное попарное соединение и др.). Технология метода решения. Расчет показателей. На первом шаге, когда каждый объект представляет собой отдельный кластер, расстояния между этими объектами определяются выбранной мерой. Так как в задаче не обуславливаются единицы измерения признаков, подразумевается, что они совпадают. Следовательно, нет необходимости в нормировании исходных данных, поэтому сразу переходим к расчету матрицы расстояний. Решение задачи. Построим по исходным данным график зависимости (рис 2) В качестве расстояния между объектами примем обычное евклидовое расстояние. Тогда согласно формуле: где l - признаки; k - количество признаков, расстояние между объектами 1 и 2 равно: Продолжаем расчет остальных расстояний: Из полученных значений построим таблицу: Наименьшее расстояние. Значит, элементы 3,6 и 5 объединяем в один кластер. Получим следующую таблицу: Наименьшее расстояние. В один кластер объединяются элементы 3,6,5 и 4. Получаем таблицу из двух кластеров: Минимальное расстояние между элементами 3 и 6 равно. Значит, элементы 3 и 6 объединяются в один кластер. Расстояние между вновь образованным кластером и остальными элементами выбираем максимальным. Например, расстояние между кластером 1 и кластером 3,6 равно max(13.34166, 13.60147)= 13.34166. Составим следующую таблицу: В ней минимальное расстояние - это расстояние между кластерами 1 и 2. Объединяя 1 и 2 в один кластер, получаем: Таким образом, методом «дальнего соседа» получили два кластера: 1,2 и 3,4,5,6 , расстояние между которыми равно 13,60147. Задача решена. Приложения. Решение задач с использованием пакетов прикладных программ (MS Excel 7.0) Задача корреляционно-регрессионного анализа. Заносим исходные данные в таблицу (рис. 1) Выбираем меню «Сервис / Анализ данных». В появившемся окне выбираем строку «Регрессия» (рис.2). Зададим в следующем окне входные интервалы по X и по Y, уровень надежности оставим 95%, а выходные данные поместим на отдельный лист «Лист отчета» (рис. 3) После проведения расчета получаем на листе «Лист отчета» итоговые данные регрессионного анализа: Здесь же выводится точечный график аппроксимирующей функции, или «График подбора»: Расчетные значения и отклонения выведены в таблице в колонках «Предсказанное Y» и «Остатки» соответственно. На основе исходных данных и отклонений строится график остатков: Оптимизационная задача Вносим исходные данные следующим образом: Искомые неизвестные X1, X2, X3 заносим в ячейки С9, D9, E9 соответственно. Коэффициенты целевой функции при X1, X2, X3 вносим в С7, D7, E7 соответственно. Целевую функцию заносим в ячейку B11как формулу: =C7*C9+D7*D9+E7*E9. Существующие ограничения по задаче На длину прокладки труб: вносим в ячейки С5, D5, E5, F5, G5 Число скважин на каждом месторождении: X3 Ј 100; вносим в ячейки С8, D8, E8. Стоимость строительства 1 скважины: вносим в ячейки С6, D6, E6, F6, G6. Формулу расчета общей протяженности C5*C9+D5*D9+E5*E9 помещаем в ячейку В5, формулу расчета общей стоимости C6*C9+D6*D9+E6*E9 помещаем в ячейке B6. Выбираем в меню «Сервис/ Поиск решения», вносим параметры для поиска решения в соответствии с заведенными исходными данными (рис. 4): По кнопке «Параметры» задаем следующие параметры поиска решения (рис. 5): После выполнения поиска решения получаем отчет по результатам: Microsoft Excel 8.0e Отчет по результатам Отчет создан: 11/17/2002 1:28:30 AM Целевая ячейка (Максимум) Результат Общая добыча Изменяемые ячейки Результат Количество скважин Количество скважин Количество скважин Ограничения Значение Протяженность Связанное Стоимость проекта не связан. Количество скважин не связан. Количество скважин Связанное Количество скважин Связанное В первой таблице приводится исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой ячейки, в которую поместили целевую функцию решаемой задачи. Во второй таблице видим исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных, которые содержатся в изменяемых ячейках. Третья таблица отчета по результатам содержит информацию об ограничениях. В столбце «Значение» помещены оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных. Столбец «Формула» содержит ограничения на потребляемые ресурсы и оптимизируемые переменные, записанные в форме ссылок на ячейки, содержащие эти данные. Столбец «Состояние» определяет связанными или несвязанными являются те или другие ограничения. Здесь «связанные» - это ограничения, реализуемые в оптимальном решении в виде жестких равенств. Столбец «Разница» для ресурсных ограничений определяет остаток используемых ресурсов, т.е. разность между потребным количеством ресурсов и их наличием. Аналогично, записав результат поиска решения в форме «Отчет по устойчивости», получим следующие таблицы: Microsoft Excel 8.0e Отчет по устойчивости Рабочий лист: [Решение задачи оптимизации.xls]Решение задачи по опт-ии добычи Отчет создан: 11/17/2002 1:35:16 AM Изменяемые ячейки Допустимое Допустимое значение стоимость Коэффициент Увеличение Уменьшение Количество скважин Количество скважин Количество скважин Ограничения Ограничение Допустимое Допустимое значение Правая часть Увеличение Уменьшение Протяженность Стоимость проекта Отчет по устойчивости содержит информацию об изменяемых (оптимизируемых) переменных и ограничениях модели. Указанная информация связана с используемым при оптимизации линейных задач симплекс-методом, описанному выше в части решения задачи. Она позволяет оценить, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к возможным изменениям параметров модели. Первая часть отчета содержит информацию об изменяемых ячейках, содержащих значения о количестве скважин на месторождениях. В столбце «Результирующее значение» указываются оптимальные значения оптимизируемых переменных. В столбце «Целевой коэффициент» помещаются исходные данные значения коэффициентов целевой функции. В следующих двух колонках иллюстрируется допустимое увеличение и уменьшение этих коэффициентов без изменения найденного оптимального решения. Вторая часть отчета по устойчивости содержит информацию по ограничениям, накладываемым на оптимизируемые переменные. В первом столбце указываются данные о потребности в ресурсах для оптимального решения. Второй содержит значения теневых цен на используемые виды ресурсов. В последних двух колонках помещены данные о возможном увеличении или уменьшении объемов имеющихся ресурсов. Задача кластеризации. Пошаговый метод решения задачи приведен выше. Приведем здесь Excel-таблицы, иллюстрирующие ход решения задачи: «метод ближайшего соседа» Решение задачи кластерного анализа - "МЕТОД БЛИЖАЙШЕГО СОСЕДА" Исходные данные где х1 - объем выпускаемой продукции; х2 - среднегодовая стоимость основных Промышленно-производственных фондов «метод дальнего соседа» Решение задачи кластерного анализа - "МЕТОД ДАЛЬНЕГО СОСЕДА" Исходные данные где х1 - объем выпускаемой продукции; х2 - среднегодовая стоимость основных Промышленно-производственных фондов
