Лекция 23.

Определение 23.1. Система дифференциальных уравнений называется линейной , если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы

. Тогда системе (23.1) эквивалентно матричное уравнение . (23.2)

Если же рассмотреть линейный оператор , уравнение (23.2) примет вид:

Так как оператор L обладает свойствами линейности:

1) L [cX ] = cL [X ];

2) L [X 1 + X 2 ] = L [X 1 ] + L [X 2 ],

то для решений линейной однородной системы (23.3) (при F = 0) справедливы те же свойства: если Х 1 и Х 2 – решения однородного уравнения (23.3) , то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.

Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х 1 , Х 2 ,…, Х п :

Определение 23.2. Векторы (столбцы) Х 1 , Х 2 ,…, Х п , где

, называются линейно зависимыми при , если существуют числа α 1 ,α 2 ,…, α п , не все равные нулю, что

α 1 Х 1 + α 2 Х 2 +…+ α п Х п ≡ 0 (23.4)

при . Если же тождество (23.4) справедливо только при всех α i = 0, векторы называются линейно независимыми .

Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (23.4) определитель вида

, (23.5)

являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (23.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х 1 , Х 2 ,…, Х п линейно зависимы на [a,b ]. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 23.1. Линейная комбинация п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы.

Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

(23.6)

в виде: , (23.7)

где α i – постоянные. Подставив (23.7) в (23.6) и сократив на e kt , получим:

. (23.8)

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:

, (23.9)

что представляет собой уравнение п – й степени относительно k , называемое характеристическим .

Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (23.8), можно найти соответствующие им значения и тем самым п различных решений системы (23.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа β 1 , β 2 ,…, β п такие, что

, то в силу линейной независимости функций отсюда следовало бы, что для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из не равно нулю, получаем, что все . Следовательно, найденные решения (23.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: , (23.10)

где c i – произвольные постоянные.

Составим характеристическое уравнение:

k 1 = 1, k 2 =5. Для k = 1 получаем систему для определения : , то есть

Примем , тогда . При k = 5 ,

Тогда . Следовательно, общее решение системы имеет вид: .

В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (23.6) имеет вид

Где γ – кратность корня k s .

Характеристическое уравнение имеет вид:

k 1 = k 2 = 3. Пусть x = (c 1 + c 2 t )e 3 t , y = (c 3 + c 4 t )e 3 t . Выразим постоянные с 3 и с 4 через с 1 и с 2 . Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при e 3 t и te 3 t : (3c 1 + c 2 + 3c 2 t )e 3 t = (2c 1 + c 3 )e 3 t + (2c 2 + c 4 )te 3 t , c 3 = c 1 + c 2 ,

c 4 = c 2 . Итак, общее решение системы получено в форме: x = (c 1 + c 2 t )e 3 t , y = (c 1 + с 2 + c 2 t )e 3 t .

Замечание. Для неоднородной системы (23.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.

. Найдем частное решение в виде: . При подстановке получим: , откуда А = 3, В = 1. Прибавив к полученному частному решению общее решение соответствующей однородной системы, запишем общее решение исходной системы: x = c 1 e t + 2c 2 e 4 t + 3e 5 t , y = -c 1 e t + c 2 e 4 t + e 5 t .

Лекция 24.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Условия устойчивости точки покоя.

Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

(24.1)

с начальными условиями y i (t 0 ) = y i 0 .

Определение 24.1. Решение φ i (t ) (ǐ = 1,2,…,n ) называется устойчивым по Ляпунову , если

Такое, что для всякого решения y i (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам , для всех справедливы неравенства (24.2)

(то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех ).

Если хотя бы для одного решения y i (t) неравенства (24.2) не выполняются, решение φ i (t ) называется неустойчивым .

Если решение φ i (t ) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию

(24.3)

при , то это решение называется асимптотически устойчивым .

Замечание. Одно условие (24.3) не обеспечивает устойчивость решения.

Фазовая плоскость.

Дифференциальное уравнение второго порядка

(24.4)

равносильно системе уравнений первого порядка

. (24.5)

Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости . Особенно удобно такое представление в случае, когда функция не содержит явным образом независимого переменного t . Тогда система (24.5) имеет вид

(24.6)

и называется автономной системой . Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой.

Точки покоя.

Определение 24.2. Точка фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой , если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой , если и .

Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.

Исследование на устойчивость некоторого решения системы (24.1) можно свести к исследованию тривиального решения – точки покоя , расположенной в начале координат, преобразуя систему к новым переменным: - отклонениям прежних неизвестных от решения, исследуемого на устойчивость. В новых переменных система (24.1) принимает вид:

Простейшие типы точек покоя.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

, где . (24.9)

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения:

1) k 1 и k 2 действительны и различны. Тогда общее решение системы (24.9) можно задать так: . При этом возможны следующие случаи:

а) если k 1 < 0 и k 2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как , и все точки, находящиеся в начальный момент t = t 0 в любой δ – окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой ε – окрестности начала координат, а при стремятся к началу координат. Такая точка покоя называется устойчивым узлом .

Как решить систему дифференциальных уравнений?

Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.

Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:

– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:

– Метод исключения . Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.

– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).

В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.

Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)

Что тут есть?

– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.

И – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».

И – первые производные неизвестных функций и соответственно.

Что значит решить систему дифференциальных уравнений?

Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений . Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений :

В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».

Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.

Более компактно систему можно переписать так:

Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.

Пример 1

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , .

Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.

Решим систему методом исключения . Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.

Алгоритм решения стандартен:

1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него :

Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).

2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :

Со «штрихами» процесс выглядит так:

Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.

3) Подставим и в первое уравнение системы :

И проведём максимальные упрощения:

Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .

– получены различные действительные корни, поэтому:
.

Одна из функций найдена, пол пути позади.

Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.

4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Или короче:

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

Ответ: частное решение:

Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:

1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :

Оба начальных условия выполняются.

2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и в первое уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.

3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и во второе уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.

Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .

Аналогично можно проверить и общее решение , проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.

Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.

Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: . Далее находится первая производная: . Потом следует подставить и во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .

И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.

Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить (заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.

Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

Пример 3

Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям

Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения , при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.

1) Из первого уравнения системы выражаем:

Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?

И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.

2) Дифференцируем по обе части:

Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.

3) Подставим и во второе уравнение системы :

Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:

Теперь проводим упрощения:

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.

Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.

Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:

Подставим в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом:

Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В результате:

4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :

Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.

Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.

Подставим
и в уравнение (*):

5) Общее решение системы:

6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :

Окончательно, частное решение:

Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.

Ответ: частное решение:

Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.

Пример проще для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям

Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.

В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.

Пример 5

Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:

По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали , вычитаем некоторый параметр :

На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.

Раскрываем определитель:

И находим корни квадратного уравнения:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты

1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:

(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)

Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то

(СОДУ), являющаяся линейной однородной с постоянными коэффициентами, имеет следующий вид: $\left\{\begin{array}{c} {y"_{1} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {y"_{2} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {y"_{n} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $.

Здесь $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа.

Для решения СОДУ такого вида применим метод исключения, состоящий в преобразовании её в одно дифференциальное уравнение (ДУ) $n$-го порядка, которое затем решим каким-либо из известных методов.

Задача 1

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =2\cdot y_{1} +y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} $.

\[\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot \left(\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} .\]

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{dy_{2} }{dx} $.

\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -6\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +5\cdot y_{1} =0. \]

характеристическое уравнение $k^{2} -6\cdot k+5=0$;
корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =5$ -- действительные, разные;
искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x} $.

производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +5\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} $;

Общее решение данной системы:

Задача 2

Решить систему ДУ

$\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =3\cdot y_{1} -y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} -y_{2} } \end{array}\right. $.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =-\frac{dy_{1} }{dx} +3\cdot y_{1} $.

Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:

\[\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot y_{1} ; \frac{dy_{2} }{dx} =\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} .\]

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{2} }{dx} $.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{1} }{dx} -y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} =0. \]

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+1=0$;
корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =1$ -- действительные, равные;
искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} $.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:

производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot \left(e^{x} +x\cdot e^{x} \right)$;
результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:

\ \[=-C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot x\cdot e^{x} +3\cdot C_{1} \cdot e^{x} +3\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{x} =\] \[=2\cdot C_{1} \cdot e^{x} -C_{2} \cdot e^{x} +2\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{x} .\]

Общее решение данной системы:

Задача 3

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =y_{1} -3\cdot y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +y_{2} } \end{array}\right. $.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right)$.

Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:

\[\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} .\]

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \frac{dy_{2} }{dx} $.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} \right); \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +10\cdot y_{1} =0. \]

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+10=0$;
корни характеристического уравнения $k_{1} =1+3\cdot i$, $k_{2} =1-3\cdot i$ -- комплексные;
искомая функция $y_{1} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:

производная

$\frac{dy_{1} }{dx} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$+ \[+e^{x} \cdot \left(-3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)+3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right);\]

результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:

Общее решение данной системы:

Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(5.45)
или в матричной форме
y"=Ay. (5.45а)
Будем искать решение системы (5.45) в виде
y=αe rt = (α 1 , α 2 ,.., α n) T e rt = (α 1 e rt , α 2 e rt ,.., α n e rt) T (5.46)
Подставив это решение в (5.45), получаем равенство αre rt =Aαe rt , откуда, сокращая на e rt , можем записать αr = Aα или Aα-αr= Aα-Eαr = (A - rE)α =0. Последнее соотношение (A - rE)α =0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y=αe rt - решение системы (5.45) тогда, когда r- собственное число, а α - ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.
В первом случае имеем n решений

Эта система функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,

Так как система векторов α 1 , α 2 ,.., α n линейно независима, то получим n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа r j кратности k имеется k линейно независимых собственных векторов α j 1 , α j 2 ,.., α jk Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа r j кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в . Второй называется методом Эйлера и заключается в том, что для собственного числа r j соответствующие решения находятся в виде y=P k -1 (t)e rjt где P k -1 (t) - вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k-1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в (5.45), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции P k -1 (t).
Примеры
1. Для линейной системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ 1 =3 с соответствующим собственным вектором p 1 =(-1,1,3) T и λ 2,3 =-1 кратности 2 с собственными векторами p 2 =(1,1,0) T и p 3 =(2,0,-1) T . Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций p 1 e 3 t , p 2 e - t , p 3 e - t , а общее решение имеет вид
.
2. Для системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ 1 =3 с соответствующим собственным вектором p 1 =(0,2,1) T и λ 2,3 =-1 кратности 2, которому соответствует только один собственный вектор p 2 = (-1,2,1) T . Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному числу λ 2,3 =-1, ищем в виде
.
Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений

для нахождения чисел a,b,q,n,s,r. Решая эту систему, имеем b=-r,q=-2a, n=2r, s =r-a. Придавая свободным неизвестным значения a=C 2 , r=C 3 получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений
.