Между показателями выборочной совокупности и искомыми показателями (параметрами) генеральной совокупности, как правило, существуют некоторые разногласия, которые называют ошибками выборки. Общая ошибка выборочной характеристики состоит из ошибок двух родов: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации свойственны любому статистическому наблюдению и появление их может быть вызвано невнимательностью регистратора, неточностью подсчетов, несовершенством измерительных приборов и т.д.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и обусловлены самой его природой поскольку как бы тщательно и правильно не проводился отбор единиц средние и относительные показатели выборочной совокупности всегда будут в какой-то степени отличаться от соответствующих показателей генеральной совокупности.

Различают систематические и случайные ошибки репрезентативности. Систематические ошибки репрезентативности - это неточности, которые возникают вследствие несоблюдения условий отбора единиц в выборочную совокупность, не предоставление равной возможности каждой единице генеральной совокупности попасть в выборку. Случайные ошибки репрезентативности - это погрешности, которые возникают вследствие того, что выборочная совокупность точно не воспроизводит характеристики генеральной совокупности (среднее, долю, дисперсию и др.) в силу несплошного характера обследования.

При соблюдении принципа случайного отбора размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборки. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки. При большой численности выборки отчетливее проявляется действие закона больших чисел, согласно которому: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии выборочные характеристики (средняя доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных характеристик.

Размеры ошибки выборки также непосредственно связаны со степенью варьирования изучаемого признака, а степень варьирования, как отмечалось выше, в статистике характеризуется размером дисперсии (рассеяния): чем меньше дисперсия, тем меньше ошибка выборки, тем более надежные статистические выводы. Поэтому на практике дисперсию отождествляют с ошибкой выборки.

Поскольку параметр генеральной совокупности есть искомая величина и он неизвестен, нужно ориентироваться не на конкретную ошибку, а среднюю из всех возможных выборок.

Если из генеральной совокупности отобрать несколько выборочных совокупностей, то каждая из полученных выборок даст разное значение конкретной ошибки.

Средняя квадратическая величина /и исчисленная из всех возможных значений конкретных ошибок (;) составит:

где *и - выборочные средние; х - генеральная средняя;)] - численность выборок по величине є1 = ~си - х.

Среднее квадратическое отклонение выборочных средних от генеральной средней называют средней ошибкой выборки.

Зависимость величины ошибки выборки от ее численности и от степени варьирования признака находит выражение в формуле средней ошибки выборки /и.

Квадрат средней ошибки (дисперсия выборочных средних) прямо пропорционален дисперсии Сто и обратно пропорционален численности выборки п:

где - дисперсия признака в генеральной совокупности.

Отсюда среднюю ошибку в общем виде определяют по формуле:

Итак, определив по выборке среднее квадратичное отклонение, можно установить значение средней ошибки выборки, величина которой, как следует из формулы, тем больше, чем больше вариация случайной величины и тем меньше, чем больше численность выборки.

Поэтому по мере роста объема выборки размер средней ошибки уменьшается. Если, например, нужно уменьшить среднюю ошибку выборки в два раза, то численность выборки следует увеличить в четыре раза, если надо уменьшить ошибку выборки в три раза, то объем выборки следует увеличить в девять раз и т. д.

В практических расчетах применяются две формулы средней ошибки выборки для средней и для доли.

При выборочном изучении средних показателей формула средней ошибки такая:

При изучении относительных показателей (частных признаков) формула средней ошибки имеет вид:

где г - доля признака в генеральной совокупности.

Применение приведенных формул средней ошибки предполагает, что известны генеральная дисперсия и генеральная доля. Однако в действительности эти показатели неизвестны и вычислить их невозможно из-за отсутствия данных относительно генеральной совокупности. Поэтому возникает потребность замены генеральной дисперсии и генеральной доли другими, близкими к ним, величинами.

В математической статистике доказано, что такими величинами могут быть выборочная дисперсия(ст) и выборочная доля (со).

С учетом сказанного формулы средней ошибки могут быть записаны так:

Эти формулы дают возможность определить среднюю ошибку при повторной выборке. Применения простой случайной повторной выборки в практике является ограниченным. Прежде всего практически нецелесообразно, а иногда невозможно повторное обследование тех же единиц. Применение бесповторного отбора вместо повторного диктуется также требованием повышения степени точности и надежности выборки. Поэтому на практике чаще используют способ бесповторного случайного отбора. По этому способу отбора единица совокупности, отобранная в выборку, в дальнейшем отборе не участвует. Единицы отбирают из генеральной совокупности, уменьшенной на количество ранее отобранных единиц. Поэтому в связи с изменением численности генеральной совокупности после каждого отбора и вероятности отбора для единиц, что остались, в формулы средней ошибки выборки вводится поправочный множитель

где N - численность генеральной совокупности; п - численность выборки. При достаточно большом значении N можно единицей в знаменателе пренебречь. Тогда

Следовательно, формулы средней ошибки выборки для бесповторного отбора для средней и для доли соответственно имеют вид:

Поскольку п всегда меньше М, то дополнительный множитель всегда меньше единицы. Следовательно, абсолютное значение ошибки выборки при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном.

Если численность выборки достаточно велика, то величина 1 ^ близка к единице, а потому ею можно пренебречь. Тогда среднюю ошибку случайного бесповторного отбора определяют по формуле собственно-случайной повторной выборки.

Рассчитаем для нашего примера среднюю ошибку для урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и более.

Средняя ошибка выборки

а) средней урожайности ячменя

Средняя урожайность ячменя в генеральной совокупности х -Г^ = 25,1 ± 0,12 ц/га, то есть находится в пределах от 24,98 до 25,22 ц/га.

Доля участков с урожайностью 25 ц/га и более в генеральной совокупности р

Т-^Г = 0,80 ± 0,07, т.е. находится в пределах от 73 до 87%.

Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения характеристик выборочной совокупности от характеристик генеральной совокупности. Вместе с тем при проведении выборочного наблюдения перед исследователями часто стоит задача расчета не только средней ошибки, но и определение предельной возможной ошибки выборки. Зная среднюю ошибку, можно определить границы, за которые не выйдет величина ошибки выборки. Однако утверждать, что эти отклонения не превысят заданной величины, можно не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности. Уровень вероятности, что принимается при определении возможных пределов, в которых содержатся значения параметров генеральной совокупности, называется доверительным уровнем вероятности.

Доверительная вероятность - это довольно высокая и, такая, что практически считается осуществленной в каждом конкретном случае, вероятность, что гарантирует получение надежных статистических выводов. Обозначим ее через Г а вероятность превысить этот уровень - а. Итак, а =1 - Р Вероятность а называют уровнем значимости (существенности), который характеризует относительное число ошибочных выводов в общем числе выводов и определяется как разница между единицей и доверительной вероятностью, что принимается.

Уровень доверительной вероятности устанавливает исследователь исходя из степени ответственности и характера задач, которые решаются. В статистических исследованиях в экономике чаще всего принимается уровень доверительной вероятности Г = 0,95; Р = 0,99 (соответственно уровень значимости а = 0,05; а = 0,01) реже Г = 0,999. Например, доверительная вероятность Г = 0,99 означает, что ошибка оценки в 99 случаях из 100 не превысит установленной величины и только в одном случае из 100 может достичь вычисленного значения, или превысить его.

Ошибка выборки, исчисленная с заданной степенью надежной вероятности, называется предельной ошибкой выборки Ер.

Рассмотрим, как устанавливается величина возможной предельной ошибки выборки. Величина ер связана с нормированным отклонением и, которое определяется как отношение предельной ошибки выборки ер к средней ошибки и:

Для удобства расчетов отклонения случайной величины от ее среднего значения обычно выражают в единицах среднего квадратического отклонения. Выражение

называют нормированным отклонением. в В статистической литературе и называют коэффициентом доверия, или коэффициентом кратности средней ошибки выборки.

Так, нормированное отклонение выборочной средней можно определить по формуле:

и _є_р_

Из выражения 1 можно найти возможную предельную ошибку выборки

ер = и/л.

Подставив вместо г. в ее значение, приведем формулы предельных ошибок выборки для средней и для доли при бесповторном случайном отборе:

Следовательно, предельная ошибка выборки зависит от величины средней ошибки и нормированного отклонения и равна ± кратному числу средних ошибок выборки.

Средняя и предельная ошибки выборки - именованные величины и выражаются в тех же единицах, что и средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонения.

Нормированное отклонение функционально связано с вероятностью. Для нахождения значений и составлены специальные таблицы (доб.2), по которым можно найти значение и при заданном уровне доверительной вероятности и значения вероятности при известном и.

Приведем значения и и соответствующие им вероятности для выборок с численностью п > 30, что чаще всего используется в практических расчетах:

Следовательно, при и = 1 вероятность отклонения выборочных характеристик от генеральных на величину однократной средней ошибки выборки равна 0,6827. Это означает, что в среднем с каждой 1000 выборок 683 дадут обобщенные характеристики, которые будут отличаться от генеральных обобщенных характеристик не более, чем на величину однократной средней ошибки. При и = 2 вероятность равна 0,9545. в Это означает, что с каждого 1000 выборок 954 дадут обобщенные характеристики, которые будут отличаться от генеральных обобщенных характеристик не более чем на двукратную среднюю ошибку выборки и т.д.

Однако в связи с тем, что, как правило, проводится только одна выборка, то мы говорим, что, например, с вероятностью 0,9545 можно гарантировать, что размеры предельной ошибки не превысят двукратную среднюю ошибку выборки.

Математически доказано, что отношение ошибки выборки к средней ошибки, как правило, не превышает ± 3д при достаточно большой численности п, несмотря на то, что ошибка выборки может приобретать любые значения. Другими словами можно сказать, что при достаточно высокой вероятности суждения (Р = 0,9973) предельная ошибка выборки, как правило, не превышает трех средних ошибок выборки. Поэтому величину Ер = 3д можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Определим для нашего примера предельную ошибку выборки для средней урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и более. Доверительный уровень вероятности примем равным Р = 0,9545. в По таблице (прил .2) найдем значения и = 2. Средние ошибки выборки для урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и больше были найдены ранее и соответственно составляли: Ц~ = ±0,12 ц/га; МР = ± 0,07.

Предельная ошибка средней урожайности ячменя:

Итак, разница между выборочной средней урожайностью и генеральной средней будет не больше 0,24 ц/га. Пределы средней урожайности в генеральной совокупности: х = х ±есть~ = 25,1 + 0,24, то есть от 24,86 до 25,34 ц/га.

Предельная ошибка доли участков с урожайностью 25 ц/га и более:

Следовательно, предельная ошибка в определении доли участков с урожайностью 25 ц/га и больше не превысит 14%, то есть удельный вес участков с указанной урожайностью в генеральной совокупности находится в пределах: г = а> ± ер = 0,80 ± 0,14, то есть от 66 до 94%.

Как мы уже знаем, репрезентативность - свойство выборочной совокупности представлять характеристику генеральной. Если совпадения нет, говорят об ошибке репрезентативности - мере отклонения статистической структуры выборки от структуры соответствующей генеральной совокупности. Предположим, что средний ежемесячный семейный доход пенсионеров в генеральной совокупности составляет 2 тыс. руб., а в выборочной - 6 тыс. руб. Это означает, что социолог опрашивал только зажиточную часть пенсионеров, а в его исследование вкралась ошибка репрезентативности. Иными словами, ошибкой репрезентативности называется расхождение между двумя совокупностями - генеральной, на которую направлен теоретический интерес социолога и представление о свойствах которой он хочет получить в конечном итоге, и выборочной, на которую направлен практический интерес социолога, которая выступает одновременно как объект обследования и средство получения информации о генеральной совокупности.

Наряду с термином «ошибка репрезентативности» в отечественной литературе можно встретить другой - «ошибка выборки». Иногда они употребляются как синонимы, а иногда «ошибка выборки» используется вместо «ошибки репрезентативности» как количественно более точное понятие.

Ошибка выборки - отклонение средних характеристик выборочной совокупности от средних характеристик генеральной совокупности.

На практике ошибка выборки определяется путем сравнения известных характеристик генеральной совокупности с выборочными средними. В социологии при обследованиях взрослого населения чаще всего используют данные переписей населения, текущего статистического учета, результаты предшествующих опросов. В качестве контрольных параметров обычно применяются социально-демографические признаки. Сравнение средних генеральной и выборочной совокупностей, на основе этого определение ошибки выборки и ее уменьшение называется контролированием репрезентативности. Поскольку сравнение своих и чужих данных можно сделать по завершении исследования, такой способ контроля называется апостериорным, т.е. осуществляемым после опыта.

В опросах Института Дж. Гэллапа репрезентативность контролируется по имеющимся в национальных переписях данным о распределении населения по полу, возрасту, образованию, доходу, профессии, расовой принадлежности, месту проживания, величине населенного пункта. Всероссийский центр изучения общественного мнения (ВЦИОМ) использует для подобных целей такие показатели, как пол, возраст, образование, тип поселения, семейное положение, сфера занятости, должностной статус респондента, которые заимствуются в Государственном комитете по статистике РФ. В том и другом случае генеральная совокупность известна. Ошибку выборки невозможно установить, если неизвестны значения переменной в выборочной и генеральной совокупностях.

Специалисты ВЦИОМ обеспечивают при анализе данных тщательный ремонт выборки, чтобы минимизировать отклонения, возникшие на этапе полевых работ. Особенно сильные смещения наблюдаются по параметрам пола и возраста. Объясняется это тем, что женщины и люди с высшим образованием больше времени проводят дома и легче идут на контакт с интервьюером, т.е. являются легко достижимой группой по сравнению с мужчинами и людьми «необразованными»35.

Ошибка выборки обусловливается двумя факторами: методом формирования выборки и размером выборки.

Ошибки выборки подразделяются на два типа - случайные и систематические. Случайная ошибка - это вероятность того, что выборочная средняя выйдет (или не выйдет) за пределы заданного интервала. К случайным ошибкам относят статистические погрешности, присущие самому выборочному методу. Они уменьшаются при возрастании объема выборочной совокупности.

Второй тип ошибок выборки - систематические ошибки. Если социолог решил узнать мнение всех жителей города о проводимой местными органами власти социальной политике, а опросил только тех, у кого есть телефон, то возникает предумышленное смещение выборки в пользу зажиточных слоев, т.е. систематическая ошибка.

Таким образом, систематические ошибки - результат деятельности самого исследователя. Они наиболее опасны, поскольку приводят к довольно значительным смещениям результатов исследования. Систематические ошибки считаются страшнее случайных еще и потому, что они не поддаются контролю и измерению.

Они возникают, когда, например: 1) выборка не соответствует задачам исследования (социолог решил изучить только работающих пенсионеров, а опросил всех подряд); 2) налицо незнание характера генеральной совокупности (социолог думал, что 70% всех пенсионеров не работает, а оказалось, что не работает только 10%); 3) отбираются только «выигрышные» элементы генеральной совокупности (например, только обеспеченные пенсионеры).

Внимание! В отличие от случайных ошибок систематические ошибки при возрастании объема выборки не уменьшаются.

Обобщив все случаи, когда происходят систематические ошибки, методисты составили их реестр. Они полагают, что источником неконтролируемых перекосов в распределении выборочных наблюдений могут быть следующие факторы:
♦ нарушены методические и методологические правила проведения социологического исследования;
♦ выбраны неадекватные способы формирования выборочной совокупности, методы сбора и расчета данных;
♦ произошла замена требуемых единиц наблюдения другими, более доступными;
♦ отмечен неполный охват выборочной совокупности (недополучение анкет, неполное их заполнение, труднодоступность единиц наблюдения).

Намеренные ошибки социолог допускает редко. Чаще ошибки возникают из-за того, что социологу плохо известна структура генеральной совокупности: распределение людей по возрасту, профессии, доходам и т.д.

Систематические ошибки легче предупредить (по сравнению со случайными), но их очень трудно устранить. Предупреждать систематические ошибки, точно предвидя их источники, лучше всего заранее - в самом начале исследования.

Вот некоторые способы избежать ошибок выборки:
♦ каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попасть в выборку;
♦ отбор желательно производить из однородных совокупностей;
♦ надо знать характеристики генеральной совокупности;
♦ при составлении выборочной совокупности надо учитывать случайные и систематические ошибки.

Если выборочная совокупность (или просто выборка) составлена правильно, то социолог получает надежные результаты, харастеризующие всю генеральную совокупность. Если она составлена неправильно, то ошибка, возникшая на этапе составления выборки, на каждом следующем этапе проведения социологического исследования приумножается и достигает в конечном счете такой величины, которая перевешивает ценность проведенного исследования. Говорят, что от такого исследования больше вреда, нежели пользы.

Подобные ошибки могут произойти только с выборочной совокупностыо. Чтобы избежать или уменьшить вероятность ошибки, самый простой способ - увеличивать размеры выборки (в идеале до объема генеральной: когда обе совокупности совпадут, ошибка выборки вообще исчезнет). Экономически такой метод невозможен. Остается другой путь - совершенствовать математические методы составления выборки. Они то и применяются на практике. Таков первый канал проникновения в социологию математики. Второй канал - математическая обработка данных.

Особенно важной проблема ошибок становится в маркетинговых исследованиях, где используются не очень большие выборки. Обычно они составляют несколько сотен, реже - тысячу респондентов. Здесь исходным пунктом расчета выборки выступает вопрос об определении размеров выборочной совокупности. Численность выборочной совокупности зависит от двух факторов: 1) стоимости сбора информации и 2) стремления к определенной степени статистической достоверности результатов, которую надеется получить исследователь. Конечно, даже не искушенные в статистике и социологии люди интуитивно понимают, что чем больше размеры выборки, т.е. чем ближе они к размерам генеральной совокупности в целом, тем более надежны и достоверны полученные данные. Однако выше мы уже говорили о практической невозможности сплошных опросов в тех случаях, когда они проводятся на объектах, численность которых превышает десятки, сотни тысяч и даже миллионы. Понятно, что стоимость сбора информации (включающая оплату тиражирования инструментария, труда анкетеров, полевых менеджеров и операторов по компьютерному вводу) зависит от той суммы, которую готов выделить заказчик, и слабо зависит от исследователей. Что же касается второго фактора, то мы остановимся на нем чуть подробнее.

Итак, чем больше величина выборки, тем меньше возможная ошибка. Хотя необходимо отметить, что при желании увеличить точность вдвое вам придется увеличить выборку не в два, а в четыре раза. Например, чтобы сделать в два раза более точной оценку данных, полученных путем опроса 400 человек, вам потребуется опросить не 800, а 1600 человек. Впрочем, вряд ли маркетинговое исследование испытывает нужду в стопроцентной точности. Если пивовару необходимо узнать, какая часть потребителей пива предпочитает именно его марку, а не сорт его конкурента, - 60% или 40%, то на его планы никак не повлияет разница между 57%, 60 или 63%.

Ошибка выборки может зависеть не только от ее величины, но и от степени различий между отдельными единицами внутри генеральной совокупности, которую мы исследуем. Например, если нам нужно узнать, какое количество пива потребляется, то мы обнаружим, что внутри нашей генеральной совокупности нормы потребления у различных людей существенно различаются (гетерогенная генеральная совокупность). В другом случае мы будем изучать потребление хлеба и установим, что у разных людей оно различается гораздо менее существенно {гомогенная генеральная совокупность). Чем больше различия (или гетерогенность) внутри генеральной совокупности, тем больше величина возможной ошибки выборки. Указанная закономерность лишь подтверждает то, что нам подсказывает простой здравый смысл. Таким образом, как справедливо утверждает В. Ядов, «численность (объем) выборки зависит от уровня однородности или разнородности изучаемых объектов. Чем более они однородны, тем меньшая численность может обеспечить статистически достоверные выводы».

Определение объема выборки зависит также от уровня доверительного интервала допустимой статистической ошибки. Здесь имеются в виду так называемые случайные ошибки, которые связаны с природой любых статистических погрешностей. В.И. Паниотто приводит следующие расчеты репрезентативной выборки с допущением 5%-ной ошибки:
Это означает,что если вы, опросив, предположим, 400 человек в районном городе, где численность взрослого платежеспособного населения составляет 100 тыс. человек, выявили, что 33% опрошенных покупателей предпочитают продукцию местного мясокомбината, то с 95%-ной вероятностью можете утверждать, что постоянными покупателями этой продукции являются 33+5% (т.е. от 28 до 38%) жителей этого города.

Можно также воспользоваться расчетами института Гэллапа для оценки соотношения размеров выборки и ошибки выборки.

Статистическая совокупность - множество единиц, обладающих массовостью, типичностью, качественной однородностью и наличием вариации.

Статистическая совокупность состоит из материально существующих объектов (Работники, предприятия, страны, регионы), является объектом .

Единица совокупности — каждая конкретная единица статистической совокупности.

Одна и таже статистическая совокупность может быть однородна по одному признаку и неоднородна по другому.

Качественная однородность — сходство всех единиц совокупности по какому-либо признаку и несходство по всем остальным.

В статистической совокупности отличия одной единицы совокупности от другой чаще имеют количественную природу. Количественные изменения значений признака разных единиц совокупности называются вариацией.

Вариация признака — количественное изменение признака (для количественного признака) при переходе от одной единицы совокупности к другой.

Признак - это свойство, характерная черта или иная особенность единиц, объектов и явлений, которая может быть наблюдаема или измерена. Признаки делятся на количественные и качественные. Многообразие и изменчивость величины признака у отдельных единиц совокупности называется вариацией .

Атрибутивные (качественные) признаки не поддаются числовому выражению (состав населения по полу). Количественные признаки имеют числовое выражение (состав населения по возрасту).

Показатель — это обобщающая количественно качестванная характеристика какого-либо свойства единиц или совокупности в цельм в конкретных условиях времени и места.

Система показателей — это совокупность показателей всесторонне отражающих изучаемое явление.

Например, изучается зарплата:

• Признак — оплата труда
• Статистическая совокупность — все работники
• Единица совокупности — каждый работник
• Качественная однородность — начисленная зарплата
• Вариация признака — ряд цифр

Генеральная совокупность и выборка из нее

Основу составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой , а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью . Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const ) или бесконечной (N = ∞ ), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда наблюдений. Число наблюдений , образующих выборку, называется объемом выборки . Если объем выборки достаточно велик (n → ∞ ) выборка считается большой , в противном случае она называется выборкой ограниченного объема . Выборка считается малой , если при измерении одномерной случайной величины объем выборки не превышает 30 (n <= 30 ), а при измерении одновременно нескольких (k ) признаков в многомерном пространстве отношение n к k не превышает 10 (n/k < 10) . Выборка образует вариационный ряд , если ее члены являются порядковыми статистиками , т. е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами .

Пример . Практически одна и та же случайно отобранная совокупность объектов — коммерческих банков одного административного округа Москвы, может рассматриваться как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков этого округа, и как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков Москвы, а также как выборка из коммерческих банков страны и т.д.

Основные способы организации выборки

Достоверность статистических выводов и содержательная интерпретация результатов зависит от репрезентативности выборки, т.е. полноты и адекватности представления свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной. Изучение статистических свойств совокупности можно организовать двумя способами: с помощью сплошного и несплошного . Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности , а несплошное (выборочное) наблюдение — только его части.

Существуют пять основных способов организации выборочного наблюдения:

1. простой случайный отбор , при котором объектов случайно извлекаются из генеральной совокупности объектов (например с помощью таблицы или датчика случайных чисел), причем каждая из возможных выборок имеют равную вероятность. Такие выборки называются собственно-случайными ;

2. простой отбор с помощью регулярной процедуры осуществляется с помощью механической составляющей (например, даты, дня недели, номера квартиры, буквы алфавита и др.) и полученные таким способом выборки называются механическими ;

3. стратифицированный отбор заключается в том, что генеральная совокупность объема подразделяется на подсовокупности или слои (страты) объема так что . Страты представляют собой однородные объекты с точки зрения статистических характеристик (например, население делится на страты по возрастным группам или социальной принадлежности; предприятия — по отраслям). В этом случае выборки называются стратифицированными (иначе, расслоенными, типическими, районированными );

4. методы серийного отбора используются для формирования серийных или гнездовых выборок . Они удобны в том случае, если необходимо обследовать сразу "блок" или серию объектов (например, партию товара, продукцию определенной серии или население при территориально-административном делении страны). Отбор серий можно осуществить собственно-случайным или механическим способом. При этом проводится сплошное обследование определенной партии товара, или целой территориальной единицы (жилого дома или квартала);

5. комбинированный (ступенчатый) отбор может сочетать в себе сразу несколько способов отбора (например, стратифицированный и случайный или случайный и механический); такая выборка называется комбинированной .

Виды отбора

По виду различаются индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе — качественно однородные группы (серии) единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.

Бесповторным называется отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в исходную совокупность и в дальнейшем выборе не участвует; при этом численность единиц генеральной совокупности N сокращается в процессе отбора. При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации возвращается в генеральную совокупность и таким образом сохраняет равную возможность наряду с другими единицами быть использованной в дальнейшей процедуре отбора; при этом численность единиц генеральной совокупности N остается неизменной (метод в социально-экономических исследованиях применяется редко). Однако, при большом N (N → ∞) формулы для бесповторного отбора приближаются к аналогичным для повторного отбора и практически чаще используются последние (N = const ).

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности

В основе статистических выводов проведенного исследования лежит распределение случайной величины , наблюдаемые же значения (х 1 , х 2 , … , х n) называются реализациями случайной величины Х (n — объем выборки). Распределение случайной величины в генеральной совокупности носит теоретический, идеальный характер, а ее выборочный аналог является эмпирическим распределением. Некоторые теоретические распределения заданы аналитически, т.е. их параметры определяют значение функции распределения в каждой точке пространства возможных значений случайной величины . Для выборки же функцию распределения определить трудно, а иногда невозможно, поэтому параметры оценивают по эмпирическим данным, а затем их подставляют в аналитическое выражение, описывающее теоретическое распределение. При этом предположение (или гипотеза ) о виде распределения может быть как статистически верным, так и ошибочным. Но в любом случае восстановленное по выборке эмпирическое распределение лишь грубо характеризует истинное. Важнейшими параметрами распределений являются математическое ожидание и дисперсия .

По своей природе распределения бывают непрерывными и дискретными . Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное . Выборочными аналогами параметров идля него являются: среднее значение и эмпирическая дисперсия . Среди дискретных в социально-экономических исследованиях наиболее часто применяется альтернативное (дихотомическое) распределение. Параметр математического ожидания этого распределения выражает относительную величину (или долю ) единиц совокупности, которые обладают изучаемым признаком (она обозначена буквой ); доля совокупности, не обладающая этим признаком, обозначается буквой q (q = 1 — p) . Дисперсия же альтернативного распределения также имеет эмпирический аналог .

В зависимости от вида распределения и от способа отбора единиц совокупности по-разному вычисляются характеристики параметров распределения. Основные из них для теоретического и эмпирического распределений приведены в табл. 9.1.

Долей выборки k n называется отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

k n = n/N .

Выборочная доля w — это отношение единиц, обладающих изучаемым признаком x к объему выборки n :

w = n n /n .

Пример. В партии товара, содержащей 1000 ед., при 5% выборке доля выборки k n в абсолютной величине составляет 50 ед. (n = N*0,05); если же в этой выборке обнаружено 2 бракованных изделия, то выборочная доля брака w составит 0,04 (w = 2/50 = 0,04 или 4%).

Так как выборочная совокупность отлична от генеральной, то возникают ошибки выборки .

Таблица 9.1 Основные параметры генеральной и выборочной совокупностей

Ошибки выборки

При любом (сплошном и выборочном) могут встретиться ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный и систематический характер. Случайные ошибки складываются из множества различных неконтролируемых причин, носят непреднамеренный характер и обычно по совокупности уравновешивают друг друга (например, изменения показателей прибора при температурных колебаниях в помещении).

Систематические ошибки тенденциозны, так как нарушают правила отбора объектов в выборку (например, отклонения в измерениях при изменении настройки измерительного прибора).

Пример. Для оценки социального положения населения в городе предусмотрено обследовать 25% семей. Если при этом выбор каждой четвертой квартиры основан на ее номере, то существует опасность отобрать все квартиры только одного типа (например, однокомнатные), что обеспечит систематическую ошибку и исказит результаты; выбор же номера квартиры по жребию более предпочтителен, так как ошибка будет случайной.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению, их невозможно избежать и они возникают в результате того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Значения показателей, получаемых по выборке, отличаются от показателей этих же величин в генеральной совокупности (или получаемых при сплошном наблюдении).

Ошибка выборочного наблюдения есть разность между значением параметра в генеральной совокупности и ее выборочным значением. Для среднего значения количественного признака она равна: , а для доли (альтернативного признака) — .

Ошибки выборки свойственны только выборочным наблюдениям. Чем больше эти ошибки, тем больше эмпирическое распределение отличается от теоретического. Параметры эмпирического распределения и являются случайными величинами, следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами, могут принимать для разных выборок разные значения и поэтому принято вычислять среднюю ошибку .

Средняя ошибка выборки есть величина , выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от математического ожидания. Эта величина при соблюдении принципа случайного отбора зависит прежде всего от объема выборки и от степени варьирования признака: чем больше и чем меньше вариация признака (следовательно, и значение ), тем меньше величина средней ошибки выборки . Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражается формулой:

т.е. при достаточно больших можно считать, что . Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения параметра выборочной совокупности от параметра генеральной. В табл. 9.2 приведены выражения для вычисления средней ошибки выборки при разных методах организации наблюдения.

Таблица 9.2 Средняя ошибка (m) выборочных средней и доли для разных видов выборки

Где - средняя из внутригрупповых выборочных дисперсий для непрерывного признака;

Средняя из внутригрупповых дисперсий доли;

— число отобранных серий, — общее число серий;

,

где — средняя -й серии;

— общая средняя по всей выборочной совокупности для непрерывного признака;

,

где — доля признака в -й серии;

— общая доля признака по всей выборочной совокупности.

Однако о величине средней ошибки можно судить лишь с определенной, вероятностью Р (Р ≤ 1). Ляпунов А.М. доказал, что распределение выборочных средних , a следовательно, и их отклонений от генеральной средней, при достаточно большом числе приближенно подчиняется нормальному закону распределения при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Математически это утверждение для средней выражается в виде:

а для доли выражение (1) примет вид:

где - есть предельная ошибка выборки , которая кратна величине средней ошибки выборки , а коэффициент кратности — есть критерий Стьюдента ("коэффициент доверия"), предложенный У.С. Госсетом (псевдоним "Student"); значения для разного объема выборки хранятся в специальной таблице.

Значения функции Ф(t) при некоторых значениях t равны:

Следовательно, выражение (3) может быть прочитано так: с вероятностью Р = 0,683 (68,3%) можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средней не превысит одной величины средней ошибки m (t = 1) , с вероятностью Р = 0,954 (95,4%) — что она не превысит величины двух средних ошибок m (t = 2) , с вероятностью Р = 0,997 (99,7%) — не превысит трех значений m (t = 3) . Таким образом, вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3% .

В табл. 9.3 приведены формулы для вычисления предельной ошибки выборки.

Таблица 9.3 Предельная ошибка (D) выборки для средней и доли (р) для разных видов выборочного наблюдения

Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности. При малых объемах выборки эмпирические оценки параметров ( и ) могут существенно отклоняться от их истинных значений ( и ). Поэтому возникает необходимость установить границы, в пределах которых для выборочных значений параметров ( и ) лежат истинные значения ( и ).

Доверительным интервалом какого-либо параметра θгенеральной совокупности называется случайная область значений этого параметра, которая с вероятностью близкой к 1 (надежностью ) содержит истинное значение этого параметра.

Предельная ошибка выборки Δ позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы , которые равны:

Нижняя граница доверительного интервала получена путем вычитания предельной ошибки из выборочного среднего (доли), а верхняя — путем ее добавления.

Доверительный интервал для средней использует предельную ошибку выборки и для заданного уровня достоверности определяется по формуле:

Это означает, что с заданной вероятностью Р , которая называется доверительным уровнем и однозначно определяется значением t , можно утверждать, что истинное значение средней лежит в пределах от ,а истинное значение доли — в пределах от

При расчете доверительного интервала для трех стандартных доверительных уровней Р = 95%, Р = 99% и Р = 99,9% значение выбирается по . Приложения в зависимости от числа степеней свободы . Если объем выборки достаточно велик, то соответствующие этим вероятностям значения t равны: 1,96, 2,58 и 3,29 . Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность в социально-экономических исследованиях имеет свои особенности, так как требует полноты представительности всех ее типов и групп. Основой для возможности такого распространения является расчет относительной ошибки :

где Δ % - относительная предельная ошибка выборки; , .

Существуют два основных метода распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность: прямой пересчет и способ коэффициентов .

Сущность прямого пересчета заключается в умножении выборочного среднего значения!!\overline{x} на объем генеральной совокупности .

Пример . Пусть среднее число детей ясельного возраста в городе оценено выборочным методом и составило человека. Если в городе 1000 молодых семей, то число необходимых мест в муниципальных детских яслях получают умножением этой средней на численность генеральной совокупности N = 1000, т.е. составит 1200 мест.

Способ коэффициентов целесообразно использовать в случае, когда выборочное наблюдение проводится с целью уточнения данных сплошного наблюдения.

При этом используют формулу:

где все переменные — это численность совокупности:

Необходимый объем выборки

Таблица 9.4 Необходимый объем (n) выборки для разных видов организации выборочного наблюдения

При планировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки необходимо правильно оценить требуемый объем выборки . Этот объем может быть определен на основе допустимой ошибки при выборочном наблюдении исходя из заданной вероятности , гарантирующей допустимую величину уровня ошибки (с учетом способа организации наблюдения). Формулы для определения необходимой численности выборки n легко получить непосредственно из формул предельной ошибки выборки. Так, из выражения для предельной ошибки:

непосредственно определяется объем выборки n :

Эта формула показывает, что с уменьшением предельной ошибки выборки Δ существенно увеличивается требуемый объем выборки , который пропорционален дисперсии и квадрату критерия Стьюдента .

Для конкретного способа организации наблюдения требуемый объем выборки вычисляется согласно формулам, приведенным в табл. 9.4.

Практические примеры расчета

Пример 1. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для непрерывного количественного признака.

Для оценки скорости расчета с кредиторами в банке проведена случайная выборка 10 платежных документов. Их значения оказались равными (в днях): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.

Необходимо с вероятностью Р = 0,954 определить предельную ошибку Δ выборочной средней и доверительные пределы среднего времени расчетов.

Решение. Среднее значение вычисляется по формуле из табл. 9.1 для выборочной совокупности

Дисперсия вычисляется по формуле из табл. 9.1.

Средняя квадратическая погрешность дня.

Ошибка средней вычисляется по формуле:

т.е. среднее значение равно x ± m = 12,0 ± 2,3 дней .

Достоверность среднего составила

Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, и для Р = 0,954 уровня достоверности.

Таким образом, среднее значение равно `x ± D = `x ± 2m = 12,0 ± 4,6, т.е. его истинное значение лежит в пределах от 7,4 до16,6 дней.

Использование таблицы Стьюдента. Приложения позволяет заключить, что для n = 10 — 1 = 9 степеней свободы полученное значение достоверно с уровнем значимости a £ 0,001, т.е. полученное значение среднего достоверно отличается от 0.

Пример 2. Оценка вероятности (генеральной доли) р.

При механическом выборочном способе обследования социального положения 1000 семей выявлено, что доля малообеспеченных семей составила w = 0,3 (30%) (выборка была 2% , т.е. n/N = 0,02 ). Необходимо с уровнем достоверности р = 0,997 определить показатель р малообеспеченных семей во всем регионе.

Решение. По представленным значениям функции Ф(t) найдем для заданного уровня достоверности Р = 0,997 значение t = 3 (см. формулу 3). Предельную ошибку доли w определим по формуле из табл. 9.3 для бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной):

Предельная относительная ошибка выборки в % составит:

Вероятность (генеральная доля) малообеспеченных семей в регионе составит р=w±Δ w , а доверительные пределы р вычисляются исходя из двойного неравенства:

w — Δ w ≤ p ≤ w — Δ w , т.е. истинное значение р лежит в пределах:

0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона составляет от 28,6% до 31,4%.

Пример 3. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для дискретного признака, заданного интервальным рядом.

В табл. 9.5. задано распределение заявок на изготовление заказов по срокам их выполнения предприятием.

Таблица 9.5 Распределение наблюдений по срокам появления

Решение. Средний срок выполнения заявок вычисляется по формуле:

Средний срок составит:

= (3*20 + 9*80 + 24*60 + 48*20 + 72*20)/200 = 23,1 мес.

Тот же ответ получим, если используем данные о р i из предпоследней колонки табл. 9.5, используя формулу:

Заметим, что середина интервала для последней градации находится путем искусственного ее дополнения шириной интервала предыдущей градации равной 60 — 36 = 24 мес.

Дисперсия вычисляется по формуле

где х i - середина интервального ряда.

Следовательно!!\sigma = \frac {20^2 + 14^2 + 1 + 25^2 + 49^2}{4}, а средняя квадратическая погрешность .

Ошибка средней вычисляется по формуле мес., т.е. среднее значение равно!!\overline{x} ± m = 23,1 ± 13,4.

Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, для 0,954 уровня достоверности:

Таким образом, среднее значение равно:

т.е. его истинное значение лежит в пределах от 0 до 50 мес.

Пример 4. Для определения скорости расчетов с кредиторами N = 500 предприятий корпорации в коммерческом банке необходимо провести выборочное исследование методом случайного бесповторного отбора. Определить необходимый объем выборки n, чтобы с вероятностью Р = 0,954 ошибка среднего значения выборки не превышала 3-х дней, если пробные оценки показали, что среднее квадратическое отклонение s составило 10 дней.

Решение . Для определения числа необходимых исследований n воспользуемся формулой для бесповторного отбора из табл. 9.4:

В ней значение t определяется из для уровня достоверности Р = 0,954. Оно равно 2. Среднее квадратическое значение s = 10, объем генеральной совокупности N = 500, а предельная ошибка среднего значения Δ x = 3. Подставляя эти значения в формулу, получим:

т.е. выборку достаточно составить из 41 предприятия, чтобы оценить требуемый параметр — скорость расчетов с кредиторами.

Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называют ошибкой репрезентативности. Различают систематические и случайные ошибки выборки.

Случайные ошибки объясняются недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности.

Систематические ошибки могут быть связаны с нарушением правил отбора или условий реализации выборки.

Так, при обследовании бюджетов домашних хозяйств выборочную совокупность на протяжении более 40 лет строили на основе территориально-отраслевого принципа отбора, что было обусловлено основной целью бюджетного обследования – дать характеристику уровня жизни рабочих, служащих и колхозников. Выборочная совокупность распределялась по регионам и отраслям экономики РСФСР пропорционально общей численности занятых; для создания отраслевой выборки применяли типическую выборку с механическим отбором единиц внутри групп.

Главным критерием отбора была среднемесячная оплата труда. Принцип отбора обеспечивал пропорциональную представительность в выборочной совокупности работающих с различным уровнем заработной платы.

С появлением новых социальных групп (предпринимателей, фермеров, безработных) репрезентативность выборки нарушалась не только в силу различий со структурой генеральной совокупности, но и в связи с систематической ошибкой, которая возникала из-за несовпадения единицы отбора (работник) и единицы наблюдения (домохозяйство). Домохозяйство, имеющее более одного работающего члена семьи, имело и бо́льшую вероятность быть отобранным, чем домохозяйство, в составе которого был один работающий. Семьи, не имеющие занятых в обследуемых отраслях, выпадали из круга отбираемых единиц (домохозяйства пенсионеров, домохозяйства, существующие за счет индивидуальной трудовой деятельности, и т.п.). Оценка точности полученных результатов (границы доверительных интервалов, ошибки выборки) была затруднена, так как при построении выборки не использовались вероятностные модели.

В 1996–1997 гг. был внедрен принципиально новый подход к формированию выборки домашних хозяйств. В качестве основы для ее проведения использовали данные микропереписи населения 1994 г. Генеральную совокупность при отборе составили все типы домашних хозяйств, за исключением коллективных. А выборочную совокупность стали организовывать с учетом представительности состава и типов домашних хозяйств в пределах каждого субъекта РФ.

Измерение ошибок репрезентативности выборочных показателей основано на предположении о случайном характере их распределения при бесконечно большом числе выборок.

Количественную оценку надежности выборочного показателя используют, чтобы составить представление о генеральной характеристике. Это осуществляют либо на основе выборочного показателя с учетом его случайной ошибки, либо на основе выдвижения некоторой гипотезы (о величине средней дисперсии, характере распределения, связи) в отношении свойств генеральной совокупности.

Для проверки гипотезы оценивают согласованность эмпирических данных с гипотетическими.

Величина случайной ошибки репрезентативности зависит:

• 1) от объема выборки;
• 2) степени вариации изучаемого признака в генеральной совокупности;
• 3) принятого способа формирования выборочной совокупности.

Различают среднюю (стандартную) и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка характеризует меру отклонений выборочных показателей от аналогичных показателей генеральной совокупности.

Предельной ошибкой принято считать максимально возможное расхождение выборочной и генеральной характеристик, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

По данным выборочной совокупности можно оценить различные показатели (параметры) генеральной совокупности. Наиболее часто используют оценку:

• – генеральной средней величины изучаемого признака (для многозначного количественного признака);
• – генеральной доли (для альтернативного признака).

Основным принципом применения выборочного метода является обеспечение равной возможности для всех единиц генеральной совокупности быть отобранными в выборочную совокупность. При таком подходе соблюдается требование случайного, объективного отбора и, следовательно, ошибка выборки определяется прежде всего ее объемом (п ). С увеличением последнего величина средней ошибки уменьшается, характеристики выборочной совокупности приближаются к характеристикам генеральной совокупности.

При одинаковой численности выборочных совокупностей и прочих равных условиях ошибка выборки будет меньше в гой из них, которая отобрана из генеральной совокупности с меньшей вариацией изучаемого признака. Уменьшение вариации признака означает снижение величины дисперсии (– для количественного признака или – для альтернативного признака).

Зависимость величины ошибки выборки от способов формирования выборочной совокупности определяется по формулам средней ошибки выборки (табл. 5.2).

Дополним показатели табл. 5.2 следующими пояснениями.

Выборочная дисперсия несколько меньше генеральной, в математической статистике доказано, что

Таблица 5.2

Формулы расчета средней ошибки выборки мри различных способах отбора

Вид выборки
	повторный для		бесповторный для
Собственно случайная (простая)
Серийная (с равновеликими
Типическая (пропорционально объему групп)

Если выборочная совокупность имеет большой объем (т.е. п достаточно велико), то соотношение приближается к единице и выборочная дисперсия практически совпадает с генеральной.

Выборку считают безусловно большой при п > 100 и безусловно малой при п < 30. При оценке результатов малой выборки указанное соотношение выборочной и генеральной дисперсии следует принимать во внимание.

Они могут быть рассчитаны по следующим формулам:

где – средняя i -й серии; – общая средняя по всей выборочной совокупности;

где – доля единиц определенной категории в i -й серии; – доля единиц этой категории во всей выборочной совокупности; r – число отобранных серий.

4. Для определения средней ошибки типической выборки в случае отбора единиц пропорционально численности каждой группы в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий (– для количественного признака, для альтернативного признака). По правилу сложения дисперсий величина средней из внутригрупповых дисперсий меньше, чем величина общей дисперсии. Значение средней возможной ошибки типической выборки меньше, чем ошибка простой собственно-случайной выборки.

Часто используют комбинированный отбор: индивидуальный отбор единиц сочетают с групповым, типический отбор – с отбором сериями. При любом способе отбора с определенной вероятностью можно утверждать, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превысит некоторую величину, которую называют предельной ошибкой выборки.

Соотношение между пределом ошибки выборки (∆), гарантируемым с некоторой вероятностью F(t), и средней ошибкой выборки имеет вид: или , где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности F(t).

Значения функции F(t) и t определяются на основе специально составленных математических таблиц. Приведем некоторые из них, применяемые наиболее часто:

т

Таким образом, предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, величина которой зависит от значения коэффициента доверия t. Так, при t = 1 вероятность F(t ) отклонения выборочных характеристик от генеральных на величину однократной средней ошибки равна 0,683. Следовательно, в среднем из каждой 1000 выборок 683 дадут обобщающие показатели (среднюю, долю), которые будут отличаться от генеральных не более чем на величину однократной средней ошибки. При t = 2 вероятность F(t) равна 0,954, это означает, что из каждой 1000 выборок 954 дадут обобщающие показатели, которые будут отличаться от генеральных не более чем на двукратную среднюю ошибку выборки, и т.д.

Наряду с абсолютной величиной предельной ошибки выборки рассчитывают и относительную ошибку, которая определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

На практике принято задавать величину ∆, как правило, в пределах 10% предполагаемого среднего уровня признака.

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности:

Пределы, в которых с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина изучаемого показателя в генеральной совокупности, называют доверительным интервалом, а вероятность F(t) – доверительной вероятностью. Чем выше значение ∆, тем больше величина доверительного интервала и, следовательно, ниже точность оценки.

Рассмотрим следующий пример. Для определения среднего размера вклада в банке методом повторной случайной выборки было отобрано 200 валютных счетов вкладчиков. В результате установили, что средний размер вклада – 60 тыс. руб., дисперсия составила 32. При этом 40 счетов оказались до востребования. Необходимо с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находятся средний размер вклада на валютных счетах в банке и доля счетов до востребования.

Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней по формуле для повторного отбора

Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 составит

Следовательно, средний размер вклада на валютных счетах в банке находится в пределах тыс. руб.:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер вклада на валютных счетах в банке составляет от 59 200 до 60 800 руб.

Определим долю вкладов до востребования в выборочной совокупности:

Средняя ошибка выборочной доли

Предельная ошибка доли с вероятностью 0,954 составит

Таким образом, доля счетов до востребования в генеральной совокупности находится в пределах w :

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля счетов до востребования в общем числе валютных счетов в банке составляет от 14,4 до 25,6%.

При конкретных исследованиях важно установить оптимальное соотношение между мерой надежности полученных результатов и величиной допустимой ошибки выборки. В связи с этим при организации выборочного наблюдения возникает вопрос, связанный с определением объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результатов с заданной вероятностью. Расчет необходимого объема выборки проводится на основе формул предельной ошибки выборки в соответствии с видом и способом отбора (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора

Продолжим пример, в котором представлены результаты выборочного обследования лицевых счетов вкладчиков банка.

Требуется установить, сколько необходимо обследовать счетов, чтобы с вероятностью 0,977 ошибка при определении среднего размера вклада не превысила 1,5 тыс. руб. Выразим из формулы предельной ошибки выборки для повторного отбора показатель численности выборки:

При определении необходимого объема выборки по приведенным формулам возникает трудность в нахождении значений σ2 и да, так как эти величины можно получить только после проведения выборочного обследования. В связи с этим вместо фактических значений данных показателей подставляют приближенные, которые могли быть определены на основе каких-либо пробных выборочных наблюдений или из аналитических предыдущих обследований.

В тех случаях, когда статистик знает среднее значение изучаемых признаков (например, из инструкций, законодательных актов и т.п.) или пределы, в которых этот признак варьируется, можно применить следующий расчет по приближенным формулам:

а произведение w(1 – w) заменить значением 0,25 (w = 0,5).

Чтобы получить более точный результат, принимают максимально возможное значение этих показателей. Если распределение признака в генеральной совокупности подчиняется нормальному закону, то размах вариации примерно равен 6σ (крайние значения отстоят в ту и другую сторону от средней на расстоянии 3σ). Отсюда , но если распределение заведомо асимметрично, то .

При любом виде выборки ее объем начинают рассчитывать по формуле повторного отбора

Если в результате расчета доля отбора (n ) превысит 5%, то проводят расчет по формуле бесповторного отбора.

Для типической выборки необходимо общий объем выборочной совокупности разделить между выделенными типами единиц. Расчет числа наблюдений из каждой группы зависит от названных ранее организационных форм типической выборки.

При типическом отборе единиц непропорционально численности групп общее число отбираемых единиц делят на число групп, полученная величина дает численность отбора из каждой типической группы:

где k – число выделенных типических групп.

При отборе единиц пропорционально численности типических групп число наблюдений по каждой группе определяют по формуле

где – объем выборки из i -й группы; – объем i -й группы.

При отборе с учетом вариации признака процент выборки из каждой группы должен быть пропорционален среднему квадратическому отклонению в этой группе (). Расчет численности () производят по формулам

При серийном отборе необходимую численность отбираемых серий определяют так же, как и при собственно-случайном отборе:

Повторный отбор

Бесповторный отбор

При этом дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

При использовании выборочного наблюдения характеристика его результатов возможна на основе сопоставления полученных пределов ошибок выборочных показателей с величиной допустимой погрешности.

В связи с этим возникает задача определения вероятности того, что ошибка выборки не превысит допустимой погрешности. Решение этой задачи сводится к расчету на основе формулы предельной ошибки выборки величины t.

Продолжая рассмотрение примера выборочного обследования лицевых счетов клиентов банка, найдем вероятность, с которой можно утверждать, что ошибка при определении среднего размера вклада не превысит 785 руб.:

соответствующая доверительная вероятность составит 0,95.

В настоящее время практика выборочного наблюдения включает статистические наблюдения, осуществляемые:

• – органами Росстата;
• – другими министерствами и ведомствами (например, мониторинг предприятий в системе Банка России).

Известное обобщение опыта по организации выборочных обследований малых предприятий, населения и домашних хозяйств представлено в Методологических положениях по статистике. В них дано более широкое понятие выборочного наблюдения, чем это рассмотрено выше (табл. 5.4).

В статистической практике используют все четыре типа выборок, представленных в табл. 5.4. Однако обычно отдают предпочтение описанным выше вероятностным (случайным) выборкам, являющимся наиболее объективными, так как по ним можно оценить точность получаемых результатов по данным самой выборки.

Таблица 5.4

Типы выборок

В выборках квазислучайного типа предполагается наличие вероятностного отбора на том основании, что специалист, рассматривающий выборку, считает его допустимым. Примером использования квазислучайной выборки в статистической практике является "Выборочное обследование малых предприятий по изучению социальных процессов в малом предпринимательстве", проведенное в 1996 г. в некоторых регионах России. Единицы наблюдения (малые предприятия) отбирались экспертно с учетом представительства отраслей экономики из уже сформированной выборки обследования финансово-хозяйственной деятельности малых предприятий (форма "Сведения об основных показателях финансово-хозяйственной деятельности малого предприятия"). При обобщении выборочных данных предполагалось, что выборочная совокупность сформирована методом простого случайного отбора.

Прямое использование суждения эксперта является наиболее общим методом намеренного включения единиц в выборку. Примером такого способа отбора является монографический метод, предполагающий получение информации только от одной единицы наблюдения, являющейся типичной, по мнению организатора обследования – эксперта.

Выборки, сформированные на основе направленного отбора, реализуются с помощью объективной процедуры, но без использования вероятностного механизма. Широко известен метод основного массива, при котором в выборку включают наиболее крупные (существенные) единицы наблюдения, обеспечивающие основной вклад в показатель, например суммарное значение признака, представляющего основную цель обследования.

В статистической практике часто применяют комбинированный метод статистического наблюдения. Сочетание сплошного и выборочного методов наблюдения имеет два аспекта:

• чередование во времени;
• одновременное их использование (часть совокупности наблюдают на сплошной основе, а часть – выборочно).

Чередование периодических выборочных со сравнительно редкими сплошными обследованиями или переписями необходимо для уточнения состава исследуемой совокупности. В дальнейшем эту информацию используют как статистическую основу выборочного наблюдения. Примерами могут служить переписи населения и выборочные обследования домашних хозяйств в промежутках времени между их проведениями.

В данном случае требуется решать следующие задачи:

• – определение состава признаков сплошного наблюдения, обеспечивающих организацию выборки;
• – обоснование периодов чередования, т.е. когда сплошные данные теряют актуальность и нужны затраты на их обновление.

Одновременное использование в рамках одного обследования сплошного и выборочного наблюдений обусловлено неоднородностью встречающихся в статистической практике совокупностей. В особенности это справедливо для обследований экономической деятельности совокупности предприятий, для которой характерны скошенные распределения изучаемых признаков, когда некоторое число единиц имеет характеристики, сильно отличающиеся от основной массы значений. В этом случае такие единицы наблюдают на сплошной основе, а другую часть совокупности – выборочно.

При данной организации наблюдений основными задачами выступают:

• – установление их оптимальной пропорции;
• – разработка способов оценки точности результатов.

Типичным примером, иллюстрирующим данный аспект применения комбинированного метода, является общий принцип проведения обследований совокупности предприятий, в соответствии с которым обследования совокупности крупных и средних предприятий проводят преимущественно сплошным методом, а малых – выборочным.

Дальнейшее развитие методологии выборочного наблюдения осуществляют как в сочетании с организацией сплошного наблюдения, так и через организацию специальных обследований, проведение которых диктуется необходимостью получения дополнительной информации для решения конкретных задач. Так, организация обследований в области условий и уровня жизни населения предусмотрена в двух аспектах:

• – обязательные компоненты;
• – дополнительные модули в рамках комплексной системы показателей.

Обязательными компонентами могут стать ежегодные исследования доходов, расходов и потребления (аналог обследования бюджетов домашних хозяйств), включающие также базовые показатели условий жизни населения. Ежегодно по специальному плану обязательные компоненты должны дополняться единовременными обследованиями (модулями) условий жизни населения, направленными на углубленное изучение какой-либо выбранной социальной темы из их общего числа (например, активы домашних хозяйств, здоровье, питание, образование, условия труда, жилищные условия, досуг, социальная мобильность, безопасность и др.) с различной периодичностью, определяемой потребностью в показателях и ресурсными возможностями.

Ошибка выборки - это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора, с тем, чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку. Для обеспечения репрезентативности выборки применяют следующие способы отбора:

· собственно-случайная (простая случайная) выборка (последовательно отбирается первый случайно попавшийся объект);

· механическая (систематическая) выборка;

· типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка (объекты отбираются пропорционально представительству различных типов объектов в генеральной совокупности);

· серийная (гнездовая) выборка.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным. При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует

Выборочное наблюдение всегда связано с ошибкой, поскольку число отобранных единиц не равно исходной (генеральной) совокупности. Случайные ошибки выборки обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Поэтому получаемые случайные ошибки должны быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка таких ошибок и является основной задачей, решаемой в теории выборочного наблюдения. Обратной задачей является определение такой минимально необходимой численности выборочной совокупности, при которой ошибка не превысит заданной величины. На выработку навыков в решении этих задач и направлен материал данного раздела.

Собственно-случайная выборка . Ее суть заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц в совокупности, ни от значений их признаков.

После проведения отбора с использованием одного из алгоритмов, реализующих принцип случайности, или на основе таблицы случайных чисел, определяются границы генеральных характеристик. Для этого рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формуле

где σ - среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

n - объем (число единиц) выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки связана с заданным уровнем вероятности. При решении представленных ниже задач требуемая вероятность составляет 0,954 (t = 2) или 0,997 (t = 3). С учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения t предельная ошибка выборки составит:

Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:

При определении границ генеральной доли при расчете средней ошибки выборки используется дисперсия альтернативного признака, которая вычисляется по следующей формуле:

где w - выборочная доля, т. е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака.

При решении отдельных задач необходимо учитывать, что при неизвестной дисперсии альтернативного признака можно использовать ее максимально возможную величину, равную 0,25.

Пример . В результате выборочного обследования незанятого населения, ищущего работу, проведенного на основе собственно-случайной повторной выборки были получены данные, приведенные в табл. 1.14.

Таблица 1.14

Результаты выборочного обследования незанятого населения

С вероятностью 0,954 определите границы:

а) среднего возраста незанятого населения;

б) доли (удельного веса) лиц, моложе 25 лет, в общей численности незанятого населения.

Решение. Для определения средней ошибки выборки необходимо, прежде всего, определить выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака. Для этого, при ручном способе расчета целесообразно построить таблицу 1.15.

Таблица 1.15

Расчет среднего возраста незанятого населения и дисперсии

На основании данных таблицы рассчитываются необходимые показатели:

· выборочная средняя величина:

;

· дисперсия:

· среднеквадратичное отклонение:

.

Средняя ошибка выборки составит:

года.

Определим с вероятностью 0,954 (t = 2) предельную ошибку выборки:

года.

Установим границы генеральной средней: (41,2 - 1,6) (41,2+1,6) или:

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний возраст незанятого населения, ищущего работу, лежит в пределах от 40 до 43 лет.

Для ответа на вопрос, поставленный в пункте «б» данного примера, по выборочным данным определим долю лиц в возрасте до 25 лет и рассчитаем дисперсию доли:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:

Определим границы генеральной доли:

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля лиц в возрасте до 25 лет в общей численности незанятого населения находится в пределах от 3,9 до 1 1,9%.

При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

где N - объем (число единиц) генеральной совокупности/

Необходимый объем собственно-случайной повторной выборки определяется по формуле:

Если отбор бесповторный, то формула приобретает следующий вид:

Полученный на основе использования этих формул результат всегда округляется в большую сторону до целого значения.

Пример. Необходимо определить, сколько учащихся первых классов школ района необходимо отобрать в порядке собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 определить границы среднего роста первоклассников с предельной ошибкой 2 см. Известно, что всего в первых классах школ района обучается 1100 учеников, а дисперсия роста по результатам аналогичного обследования в другом районе составила 24.

Решение. Необходимый объем выборки при уровне вероятности 0,997 (t = 3) составит:

Таким образом, для получения данных о среднем росте первоклассников с заданной точностью необходимо обследовать 52 школьника.

Механическая выборка . Данная выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора. При решении задач на определение средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, следует использовать приведенные выше формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе.

Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке - каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д.

Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.

Типическая выборка. Эта выборка применяется в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типичных групп. Отбор единиц в выборку производится внутри этих групп пропорционально их объему на основе использования собственно-случайной или механической выборки (при наличии необходимой информации отбор также может производиться пропорционально вариации изучаемого признака в группах).

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации.

Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где - средняя из внутригрупповых дисперсией.

Пример . В целях изучения доходов населения по трем районам области сформирована 2%-ная выборка, пропорциональная численности населения этих районов. Полученные результаты представлены в табл. 16.

Таблица 16

Результаты выборочного обследования доходов населения

Необходимо определить границы среднедушевых доходов населения по области в целом при уровне вероятности 0,997.

Решение. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

где N i - объем i -и группы;

n, - объем выборки из /-и группы.

Серийная выборка . Эта выборка используется в тех случаях, когда единицы изучаемой совокупности объединены в небольшие равновеликие группы или серии. Единицей отбора в этом случае является серия. Серии отбираются с использованием собственно-случайной либо механической выборки, а внутри отобранных серий обследуются все без исключения единицы.

В основе расчета средней ошибки серийной выборки лежит межгрупповая дисперсия:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где x i - число отобранных i - серий;

R - общее число серий.

Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:

где х i - средняя i-и серии;

х - общая средняя по всей выборочной совокупности.

Пример . В целях контроля качества комплектующих из партии изделий, упакованных в 50 ящиков по 20 изделий в каждом, была произведена 10%-ная серийная выборка. По попавшим в выборку ящикам среднее отклонение параметров изделия от нормы соответственно составило 9 мм, 11, 12, 8 и 14 мм. С вероятностью 0,954 определите среднее отклонение параметров по всей партии в целом.

Решение. Выборочная средняя:

мм.

Величина межгрупповой дисперсии:

С учетом установленной вероятности Р = 0,954 (t = 2) предельная ошибка выборки составит:

мм.

Произведенные расчеты позволяют заключить, что среднее отклонение параметров всех изделий от нормы находится в следующих границах:

Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие формулы:

(повторный отбор);

(безповторный отбор).