1. Значение алгебраического материала в начальном обучении математике.

2. Задачи изучения алгебраического материала.

3. Методика работы над алгебраическими понятиями.

4. Методика изучения математических выражений.

5. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

6. Методика обучения решению уравнений и задач алгебраическим способом.

7. Методика работы над неравенствами с переменной.

8. Функциональная пропедевтика в начальном обучении математике.

1. Значение алгебраического материала в начальном обучении математике

а) нахождение значений математических выражений;

б) решение уравнений и неравенств;

а) законы а×(b+c)=a×b+a×c;

б) зависимости, правила a+b=c

4. Развитие логического и теоретического мышления.

5. Подготовка к дальнейшему изучению математики.

Т.о. алгебраический материал выполняет вспомогательную функцию при изучении арифметического материала.

Хотя алгебраический материал занимает подчиненное арифметическому содержанию место, он обладает и некоторой самостоятельностью, которая, прежде всего, проявляется в последовательности введения элементов алгебры.

Какие алгебраические понятия вводятся в начальном курсе математики? Как они определяются в математике? (См. ос №22)

В начальном курсе математики ни одно из них не доводится до уровня формального определения. Следовательно, нельзя ставить вопрос: “Что называется..?”

Учащиеся должны: правильно понимать термин и правильно оперировать им в практической деятельности.

Понимать

Термин Объект

Применять

Работа по формированию алгебраических понятий ведётся поэтапно:

1. Подготовительная работа.

2. Введение понятия (термина).

3. Закрепление в практической деятельности.

Подготовительная работа включает оперирование соответствующими объектами без использования терминов. Например:

а) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) и тому подобное→для введения понятия “Математическое выражение”.

б) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

в) ? +4=6, а+4=6, х+4=12→уравнение.

Таким образом, на этапе подготовки идет накопление конкретных представлений, которые на следующем этапе обобщаются.

Алгебраические понятия вводятся:

а) контекстуально, то есть смысл нового термина выясняется из смысла отрывка текста. Например: ” Буква х (икс) обозначает неизвестное число. х+2=5— это уравнение. Решить уравнение — значит найти неизвестное число”.

б) остенсивно , когда объект просто называется и демонстрируется. Например: “Числовые математические выражения”.

При этом необходимо использовать сравнение, анализ, синтез, классификацию. Например: “Равенство — неравенство”.

Усвоение алгебраических понятий осуществляется в практической деятельности с конкретными их представителями.

Учащиеся учатся правильно понимать и применять соответствующие слова — термины.

Что значит изучать математические выражения? (см. ОС N22)

— обучение чтению и записи под диктовку или по тексту учебника;

— ознакомление с правилами порядка выполнения действий;

— составление выражений по задачам , по схемам;

— вычисление значений выражений;

— ознакомление с преобразованиями (тождественными) выражений;

— сравнение выражений.

«Изучение алгебраического материала в начальной школе»

Выполнила учитель высшей категории Аверьякова Н.Н.

Введение.

Глава 1. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе.

1.1.Опыт введения элементов алгебры в начальной школе.

1.2. Психологические основы введения алгебраических понятий в начальной школе.

1.3. Проблема происхождения алгебраических понятий и её значение для построения учебного предмета.

2.1. Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней школы.

2.2. Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики.

2.3. Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления.

Глава 3. Исследовательская работа по изучению алгебраического материала на уроках математики в начальных классах школы №72.

3.1. Обоснование использования инновационных технологий (технология УДЕ).

3.2. Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями.

3.3.Диагностика результатов обучения математике.

Заключение.

Библиографический список.

Введение

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребёнка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика – это язык современной науки. Однако, представляется что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому, что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н.Колмогоров писал: «Математика не просто один из языков. Математика – это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика – орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим…Очевидные сложности природы с её странными законами и правилами, каждое из которых допускает очень подробное отдельное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому.»(с.44 –(12))

Таким образом, математика позволяет сформировать определённые формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

Наша система образования устроена так, что для многих школа даёт единственную возможность приобщиться к математической культуре, овладеть ценностями, заключенными в математике.

Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является высшим достижением.

Курс математики(без геометрии) фактически разбит на 3 основные части: на арифметику (1-5классы), алгебру (6-классы), элементы анализа (9-11классы). Каждая эта часть имеет свою особую «технологию». Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре- с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе- с дифференцированием. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части? Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры. В арифметику включают изучение натуральных чисел(целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном предмете неправомерно. Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счётом предметов, вторые- с измерением величин. С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н.Колмогоров, «нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надо задерживаться на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей, однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности»(12-с.9). Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел формировать сразу «самое общее понятие числа»(по терминологии А.Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в её школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным- это переход от арифметики к алгебре, к созданию фундамента для анализа. Эти идеи, высказанные более 30лет назад, актуальны и сегодня. Возможно ли изменение структуры обучения математики в начальной школе в данном направлении? Каковы достоинства и недостатки алгебраизации начального обучения математики? Цель данной работы- попытаться ответить на поставленные вопросы.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

Рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе алгебраических понятий величины и числа;

Изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе;

Показать практическую применимость рассматриваемых положений в начальной школе на уроках математики в СОУ СОШ №72 учителем Аверьяковой Н.Н.

ГЛАВА 1. ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

1. ОПЫТ ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

Содержание учебного предмета зависит от многих факторов - от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук, от психических и физических возрастных возможностей детей. Правильный учёт этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по ряду причин не соблюдается. Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов, в т.ч. математики, не соответствуют новым требованиям жизни, уровню современных наук и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов. Фундамент математических навыков закладывается в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики. Достаточно сказать, что программа по математике в начальной школе(1-4) в основных своих чертах сложилась еще 50-60 лет назад и отражает, естественно, систему математических, методических и психологических представлений того времени.

Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике. Основным её содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определённой последовательности. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника,квадрата, измерение отрезков, площадей, вычисление объемов. Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий - для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действия, уяснить различные случаи их применения, установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки анализа и синтеза. С 1 по 4 класс дети решают следующие основные типы задач(простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям и другие виды задач. С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно- ученики приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при решении- это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в которых более «сложные» ситуации были бы связаны с более «глубокими» пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета(возрастает число действий) , по рангу чисел(от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей(от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам. Только один параметр –углубление в систему собственно математических закономерностей -в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического труднее задач на разностное и кратное сравнение? Методика не даёт ответа на данный вопрос.

Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных, полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приёмы преподавания хотя и приводят к частным успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.

Представляется, что в основе критического анализа принятой программы по арифметике должны лежать следующие положения:

Понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике объектов;

Число не является исходной формой выражения количественных отношений.

Приведём обоснование этих положений. Общеизвестно, что современная математика(в частности, алгебра) изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объёмах и т.д.(отношение «больше», «меньше», «равно»). Изложение исходных математических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов числами. Так, в книге Е.Г.Гонина «Теоретическая арифметика» основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками. Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая фора выражения. Примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей. Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до появления у них знаний о числах и приёмах оперирования ими. Правда, есть тенденция относить эти представления к категории «доматематических образований» (что вполне естественно для традиционных методик, отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако это не меняет существенной функции в общей ориентировке ребёнка в свойствах вещей. И порой случается, что глубина этих якобы «доматематических образований» более существенна для развития собственно математического мышления ребёнка, чем тонкостей вычислительной техники и умение находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что академик А.Н.Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной(12-с.17).

В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. К работе по её конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков, методистов. Но во всех конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим требованиям:

Преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;

Давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;

Прививать детям приёмы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);

Решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников, других подсобных средств.

Смысл этих требований ясен: в начальной школе возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы. Опыт конструирования новой программы по математике и её экспериментальная проверка, проводимая с конца 1960 года, позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу, начиная с 1 класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.

1.2.ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОАВ ВВЕДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологий и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж.Пиаже) вскрыли связь некоторых механизмов детского мышления с общематематическими понятиями. Ниже специально рассматриваются особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь идет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы).

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на протяжении её истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам- теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа - исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что знакомясь с числом, ребёнок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счёт и число- основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет - разнее числовые системы, понятия, о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причём в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой «алгебраические операции», известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не «числового» характера.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребёнка в математику. Эта тенденция находит своё выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6-7лет, на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается приём соединения множеств,- при этом вводится соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах. Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она вполне правомерна и перспективна.

На первый взгляд понятия «отношение», «структура», «законы композиции» и другие имеющиеся сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлечённый смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и «натренированной» в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребёнка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7-10 лет у ребёнка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно- предметного мышления. Причём на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно- временных и причинно- следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той «системы координат», внутри которой ребёнок начинает всё глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны, и в малой степени могут быть выражены самим ребёнком в форме отвлечённого суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребёнка (хотя, конечно, всё более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж.Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребёнка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг(17) Ж.Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12-14лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например А+А1=В) и операции, ей обратной (В- А1=А). сериация- это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже показывает, как от исходной формы, от создания «фигурной совокупности», основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства («нефигурные совокупности»), а затем к самой сложной форме- к включению классов, обусловленному связью между объёмом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум- трём признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов.

Эти исследования преследовали вполне определённую цель- выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способность ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого(17-стр.15).

Обратимость, согласно Ж.Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при перемещении предмета из А в В предмет так и остаётся в В, но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путём соответствующего перемещения собственного тела - и это уже другая форма преобразования, нежели обращение (17-стр.16). Ж.Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребёнка (особенно тех логических операций, которые осуществляет в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими(17-стр.17). так алгебраическая структура («группа») соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости- инверсии(отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведению двух элементов группы также даёт элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

Координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

Операция может развиваться в двух направлениях;

При возвращении к исходной точке мы находим её неизменной;

К одной и той же точке можно прийти разными путями, причём сама точка считается неизменной.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж.Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж.Пиаже показывают, сто в период дошкольного и школьного детства у ребёнка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их положений. Причём уже на стадии конкретных операций (с 7-лет) интеллект ребёнка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики. Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и ёмкого характера тех стадий умственного развития ребёнка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11лет. Рассмотрение результатов, полученных Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребёнка с 2х до 11лет говорят о том, что ему в это время не только не «чужды» свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «структура- отношение», но они сами органически входят в мышление ребёнка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. К 7- годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путём обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны «явно» и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню «формальных» операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при «самостоятельном» открытии этих свойств. При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж.Пиаже к 7-11годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь структур детского мышления и общеалгебраических структур. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развёртывающегося по схеме «от простых структур- к сложным сочетаниям». Указанный способ может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

1.3.ПРОБЛЕМА ПРОИСХОЖДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ И ЕЁ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА.

Разделение школьного курса математики на алгебру и арифметику условное. Переход происходит постепенно. Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных множеств. Раскрывается понятие на конкретной основе в результате оперирования множества и измерения величин. Необходимо проанализировать содержание понятия «величина». Правда, с этим термином связывается другой - «измерение». В общем употреблении термин величина связан с понятиями «равно», «больше», «меньше», которые описывают самые различные качества. Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его элементов А иВ, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений: А=В, А В, А В.

В.Ф.Коган выделяет следующие восемь основных свойств понятий «равно», «больше», «меньше».

1) имеет место по крайней мере одно из соотношений: А=В, А В, А В;

2) если имеет место соотношение А=В, т не имеет места соотношение А В;

3) если имеет место А=В, то не имеет места соотношение А В;

4) если А=В и В=С, то А=С;

5) если А В и В С, то А С;

6) если А С и В С, то А С;

7) равенство есть отношение обратимое: А=В В=А;

8) равенство есть соотношение возвратное: каков бы ни был элемент А рассматриваемого множества, А=А.

«Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину»,- писал В.Ф.Коган. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев сравнения (наименование величины». Так возникают понятия «объём» , «вес», «длина» и т.д. «При этом для математика величина вполне определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения»,- отмечал В.Ф.Коган.

В качестве важнейшего примера математической величины этот автор рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимает одно место, следует за…, предшествует…), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому представляет собой величину. Работая с величинами(отдельные из значения целесообразно фиксировать буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая зависимость их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя сложение и вычитание. Натуральные и действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать предметом специального изучения ребёнка ещё до того, как вводится числовая форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для последующего развёрнутого введения числа и его разных видов, в частности для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в младших классах. Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину как предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и знаковыми средствами фиксации его результатов, с приёмами анализа общих свойств величин. Необходим такой начальный раздел курса, который знакомил бы детей с основными алгебраическими понятиями(до введения числа). Каковы же основные узловые темы такой программы?

Тема 1. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объёму, весу, составу частей и других параметрам).

Тема 2. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой равенства- неравенства.

Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов этого действия;

Словесная фиксация результатов сравнения (термины «больше», «меньше», «равно»).

Письменные знаки

Обозначение результатов сравнения рисунком;

Обозначение сравниваемых объектов буквами.

Тема 3. Свойства равенства и неравенства.

Тема 4. Операция сложения (вычитания).

Тема 5. Переход от неравенства типа А В к равенству через операцию сложения(вычитания).

Тема 6. Сложение- вычитание равенств – неравенств.

При правильном планировании уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе дидактических пособий этот материал может быть полноценно усвоен за три месяца.

Далее дети знакомятся со способами получения числа, выражающим отношение какого- либо объекта как целого и его части. Есть линия, реализуемая уже в 1 классе - перенесение на числа (целые) основных свойств величины и операции сложения. В частности, работая на числовом луче, дети могут быстро претворить последовательность чисел в величину. Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по-новому формировать сами навыки сложения и вычитания, и затем умножения - деления.

2.1. ОБУЧЕНИЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОТРЕБНОСТЕЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ.

Как известно, при изучении математики в 5 классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Это повторение практически во всех учебниках занимает полторы учебной четверти. Учителя математики средней школы недовольны подготовкой выпускников начальной школы. В чём же причина такого положения? Для этого были проанализированы наиболее известные сегодня учебники математики начальной школы: это учебники авторов М.И Моро, И.И. Аргинской, Н.Б Истоминой, Л.Г.Петерсон, В.В.Давыдова, Б.П.Гейдмана.

Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно действующих на дальнейшее обучение. Прежде всего это то, что усвоение материала в них в большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе её запоминанию уделяется много сил и времени. Но за время летних каникул дети её забывают. Причина такого быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского показали, что осмысленное запоминание гораздо эффективно, чем механическое, а проведённые эксперименты убедительно доказывают, что материал попадает в долговременную память только если он запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу. При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведёт к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно совсем обойтись в начальной школею но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой для формирования понятия. Применение иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко приводит к тому, что «размывается» само понятие. Например, в методике математики М.И.Моро говорится, что детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению в результате деления усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия.

При обучении математике в начальной школе нигде не идёт речь о доказательстве каких- либо утверждений. Между тем, помня о том, какую трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причём сделать это можно на вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом,например, может служить правило деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение деления и соответствующие правила умножения.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры- работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использования букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучаться к работе с буквами. однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенном выражении можно уже в начальной школе. Это замечательно сделано, например, в учебнике Л.Г.Петерсон. С 1 класса буквенная символика вводится наряду с числами, а в некоторых случаях - опережая их. Все правила и выводы сопровождаются буквенным выражением. Например, урок 16 (1класс 2часть) по теме «Нуль» знакомит детей с вычитание нуля из числа и числа из самого себя и делает вывод следующей записью: а -0=а а-а=0

Урок 30 по теме «Задачи на сравнение» 1класс включает в себя работу с упражнениями на сравнение вида: а*а-3 в+4*в+5 с+0* с-0 д-1*д-2

Эти упражнения заставляют ребенка мыслить и искать доказательство выбранного решения.

2.2. СРАВНЕНИЕ (ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ) ПОНЯТИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Действующая программа предусматривает изучение в 1классе лишь двух действий первой ступени_ сложения и вычитания. Ограничение первого года обучения лишь двумя действиями есть, по существу, отход от того, что было уже достигнуто в учебниках предшествовавших ныне действующим: ни один учитель никогда не жаловался тогда на то, что умножение и деление, скажем в пределах 20 непосильно для первоклассников. Достойно внимания ещё и то, что в школах других стран, где обучение начинается с 6лет, к первому учебному году относят начальное знакомство со всеми четырьмя действиями математики. Математика опирается прежде всего на четыре действия, и чем раньше они будут включены в практику мышления школьника, тем устойчивее и надежнее будет последующее развертывание курса математики.

В первых вариантах учебника М.И Моро для 1 класса предусматривалось умножение и деление. Однако авторы настойчиво держались за одну «новинку»- охват в 1классе всех случаев сложения и вычитания в пределах 100. Но, поскольку времени на изучение такого расширенного объема сведений не хватило, было решено сдвинуть умножение и деление полностью на следующий год обучения. Итак, увлечение линейностью программы, т.е. чисто количественным расширением знанием (те же самые действия, но с большими числами), заняло то время, которое ранее отводилось на качественное углубление знаний (изучение всех четырех действий в пределах двух десятков). Изучение умножения и деления уже в 1классе означает качественный скачок мышления, поскольку это позволяет освоить свёрнутые мыслительные процессы.

По традиции, раньше выделялось в особую тему изучение действий сложения и вычитания в пределах 20. Необходимость этого подхода в систематизации знаний видна даже из логического анализа вопроса: дело в том, что полная таблица сложения однозначных чисел развёртывается в пределах двух десятков (0+1=1… 9+9=18). Таким образом, числа в пределах 20 образуют в своих внутренних связях завершённую систему отношений; отсюда понятно целесообразность сохранения «20» в виде второй целостной темы (первая такая тема- действия в пределах первого десятка). Обсуждаемый случай- именно тот, когда концентричность (сохранение второго десятка в качестве особой темы) оказывается более выгодной, чем линейность (растворение второго десятка в теме «Сотня»).

В учебнике М.И Моро изучение первого десятка разделено на два изолированных раздела: сначала изучается состав чисел первого десятка, а в следующей теме рассматриваются действия в пределах десяти. Существуют экспериментальные учебники, где совместное изучение нумерации состава чисел и действий осуществляется в пределах 10 сразу в одном разделе (Эрдниев П.М.).

На первых занятиях учитель должен поставить перед собой цель научить школьника применять пары понятий, содержание которых раскрывается в процессе составления соответствующих предложений с этими словами: больше- меньше, длиннее- короче, выше- ниже, тяжелее- легче, толще- тоньше, правее- левее, дальше- ближе и т.д. При работе над парами понятий важно использовать и наблюдения детей. Обучение процессу сравнения можно сделать более интересным, вводя так называемые табличные упражнения. Здесь разъясняется смысл понятий «столбец» , «строка». Вводится понятие левый столбец и правый столбец, верхняя строка и нижняя строка. Вместе с детьми показываем смысловое толкование этих понятий. Подобные упражнения постепенно приучают детей к пространственной ориентировке и имеют важное значение при изучении в последствии координатного метода математики. Большое значение для первых уроков имеет работа над числовым рядом. Рост числового ряда прибавлением по единице удобно иллюстрировать перемещением вправо по числовому лучу. Если знак (+) связывается с перемещением по числовому лучу вправо на единицу, то знак (-) связывается с обратным перемещением влево на единицу. (Поэтому оба знака показываем одновременно на одном уроке). Работая над числовым рядом, вводим понятия: начало числового ряда(число нуль) представляет левый конец луча; числу 1 соответствует единичный отрезок, который надо изобразить отдельно от числового ряда. Дети работают в пределах трех с числовым лучом. Выделяем два соседних числа 2 и 3. Переходя от числа 2 к числу 3, дети рассуждают так: «За числом 2 следует число 3». Переходя от числа 3 к числу 2, они говорят: «Перед числом 3 идёт число 2» или «Число 2 предшествует числу 3». Такой метод позволяет определить место данного числа по отношению как к предыдущему, так и к последующему числу; уместно тут же обратить внимание на относительность положения числа, например, число 3 одновременно является как последующим(за числом 2), так и предыдущим (перед числом 4). Указанные переходы по числовому ряду надо связать с соответствующими арифметическими действиями. Например, фраза «За число 2 следует число3» изображается символически так: 2+1=3; однако психологически выгодно создать противоположную связь: «Перед числом 3 идёт число 2» и запись: 3-1=2. Чтобы добиться понимания места какого- либо числа в числовом ряду, следует предлагать парные вопросы:

1)За каким числом следует число 3? Перед каким числом расположено число 2?

2)какое число следует за числом 2? Какое число идёт перед числом 3? И т.д.

Работу с числовым рядом удобно сочетать со сравнением чисел по величине, а также со сравнением положения чисел на числовой прямой. Постепенно вырабатываются связи суждений геометрического характера: число4 находится на числовой прямой правее числа 3; значит 4 больше 3. И наоборот: число 3 находится левее числа 4, значит число 3 меньше числа 4. Так устанавливается связь между парами понятий: правее- больше, левее- меньше.

Из выше изложенного мы видим черту укрупненного усвоения знаний: весь набор понятий, связанных со сложением и вычитанием, предлагается совместно, в непрерывных переходах друг в друга. Опыт обучения показывает преимущества одновременного введения пар взаимно противоположных понятий, начиная с самых первых уроков. Так,например, одновременное употребление трех глаголов: «прибавить (к 2 прибавить 1), «сложить» (число 2 сложить с числом 1), которые изображаются символически одинаково (2+1=3), помогает детям усвоить сходство, близость этих слов по смыслу(подобные рассуждения можно произвести относительно слов «отнять», «вычесть», «уменьшить».

Многолетние испытания показали преимущества монографического изучения чисел первого десятка. Каждое очередное число при этом подвергается многостороннему анализу, с перебором всех возможных вариантов его образования; в пределах этого числа выполняются все возможные действия, повторяется «вся математика», используются все допустимые грамматические формы выражения зависимости между числами. Разумеется, при этой системе изучения в связи с охватом последующих чисел повторяются ранее изученные примеры, т.е. расширение числового ряда осуществляется с постоянным повторением ранее рассмотренных сочетаний чисел и разновидностей простых задач.

2.3. СОВМЕСТНОЕ ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

В методике начальной математики упражнения на эти две операции обычно рассматриваются раздельно. Но одновременное изучение двуединой операции «сложение- разложение на слагаемые» является более предпочтительным. Такую работу можно построить следующим образом. Пусть дети решили задачу на сложение: «К 3палочкам прибавить 1палочку- получится 4палочки». Вслед за ней сразу же ставим вопрос: «Из каких чисел состоит число 4?» 4палочки состоят из 3 палочек (ребёнок отсчитывает 3палочки) и 1палочки (отделяет ещё 1палочку). Исходным упражнением может быть и разложение числа. Учитель задает вопрос: «Из каких чисел состоит число 5?»(число 5 состоит из 3 и 2). И тотчас же предлагается вопрос про те же числа: «Сколько получится, если к 3 прибавить 2?»(к 3 прибавить 2 получится 5). Для этой же цели полезно практиковать чтение примеров в двух направлениях: 5+2=7. К пяти прибавить два получится семь. (читаем слева направо).7 состоит из слагаемых 2 и 5.(читаем справа налево). Словесное противопоставление полезно сопровождать такими упражнениями на классных счётах, которые позволяют видеть конкретное содержание соответствующих операций. Вычисление на счётах незаменимы как средство визуализации действий над числами, причём величина числа в пределах 10 здесь ассоциируется с длиной совокупности косточек на одной проволоке(эта длина воспринимается учеником зрительно. Так при решении примера на сложение (5+2=7) ученик сначала отсчитывал на счётах 5 косточек, затем к ним присчитывал 2 и после этого объявлял сумму: «К 5 прибавить 2- получится 7» (название полученного числа 7 при этом ученик устанавливает путём пересчёта новой совокупности: 1-2-3-4-5-6-7).

Ученик: К 5 прибавить 2 -получится 7.

Учитель: Покажи, из каких слагаемых состоит число 7?

Ученик отделяет 2 косточки вправо. Число 7- это 2 и 5. Выполняя данные упражнения, целесообразно употреблять с самого начала понятие «первое слагаемое» (5), «второе слагаемое» (2), «сумма» (7). Предлагаются задания следующих видов:

а) сумма двух слагаемых равна 7, найди их;

в) из каких слагаемых состоит число 7;

в) разложите сумму 7 на 2 слагаемых, 3, и т.п.

Усвоение такого важного алгебраического понятия, как переместительный закон сложения, требует разнообразных упражнений, основанных вначале на практических манипуляциях с предметами.

Учитель: Возьмите в левую руку 3 палочки, а в правую- 2. Сколько всего палочек?

Ученик: Всего стало 5 палочек.

Учитель: Как подробнее сказать об этом?

Ученик: К 2 палочкам прибавить 2 – будет 5 палочек.

Учитель: Составьте этот пример из разрезных цифр. (ученик составляет пример из цифр).

Учитель: А теперь поменяйте местами палочки: из левой переложите в правую, а из правой- в левую. Сколько теперь палочек в двух руках вместе?

Ученик: Всего в двух руках было 5, и сейчас получилось снова 5.

Учитель: Почему так получилось?

Ученик: Потому что мы никуда не откладывали и не добавляли палочки. Сколько было, столько и осталось.

Переместительный закон усваивается также в упражнениях на разложение числа на слагаемые. Когда вводить переместительный закон? Главная цель обучения сложению- уже в пределах первого десятка- постоянно подчёркивать роль переместительного закона в упражнениях. Пусть дети отсчитывают 6 палочек, затем к ним прибавляют 3 палочки и пересчётом(семь- восемь- девять) устанавливают сумму: 6 да 3 будет 9. Предлагаем сразу новый пример: 3+6: новую сумму можно установить путем пересчета, но постепенно и целенаправленно следует формировать способ решения на высшем коде, т.е. логически, без пересчёта. Если 6 да 3 будет 9 (ответ пересчитан), то 3 да 6 (без пересчёта) будет 9.

Л.Г.Петерсон вводит такой способ уже на 13 уроке, где дети решают четыре выражения в буквенной символике (Т+К=Ф К+Т=Ф Ф-Т=К Ф-К=Т), а затем в числовой форме: 2+1=3 1+2=3 3-2=1 3-1+2.

Составление четверки примеров- это доступное детям средство укрупнения знаний. Мы видим, что характеристика операции сложения не должна пройти эпизодически, а должна стать основным логическим средством упрочения верных числовых ассоциаций. Главное свойство сложения- переместительность слагаемых- должно рассматриваться постоянно в связи с накоплением в памяти все новых табличных результатов. Мы видим: взаимосвязь более сложных вычислительных или логических операций, посредством которых выполняется пара «сложных операций». Явное противопоставление сложных понятий основано на неявном противопоставлении более простых понятий.

Первоначальное изучение умножения и деления целесообразно осуществлять в следующей последовательности трех циклов задач(по 3 задачи в каждом цикле):

1 а), б) умножение при постоянном множимом и деление по содержанию (совместно); в) деление на равные части.

2 а), б) уменьшение и увеличение числа в несколько раз (совместно), в) кратное сравнение;

3 а), б) нахождение одной части числа и числа по величине одной его части (совместно) в) решение задачи «Какую часть составляет одно число от другого?». Одновременное изучение умножения и деления по содержанию. На 2-3 уроках, посвящённых умножению, выясняется смысл понятия умножения как свёрнутого сложения равных слагаемых. Обычно учащимся показывается запись по замене сложения умножением:2+2+2+2=8 2*4=8 Здесь связь между сложением и умножением. Уместно предложить сразу упражнение, рассчитанное на появление обратной связи «умножение- сложение». Рассматривая эту запись, ученик должен понять, что требуется число 2 повторять слагаемым столько раз, сколько показывает множитель в примере 2*4=8. Сочетание обоих видов упражнения есть одно из важных условий, обеспечивающих сознательное усвоение понятия «умножение». Очень важно показать к каждому из соответствующих случаев умножения соответствующий случай деления. В дальнейшем умножение и деление по содержанию выгодно рассматривать совместно.

При введении понятия деления необходимо вспомнить соответствующие случаи умножения, чтобы оттолкнувшись от них, создать понятие о новом действии, обратном умножению. Стало быть, понятие «умножение» приобретает богатое содержание, оно не только результат сложения равных слагаемых («обобщение сложения»), но и основа, исходный момент деления, которое, в свою очередь представляет «свёрнутое вычитание», заменяющее последовательное «вычитание по 2». Смысл умножения постигается не столько при самом умножении, сколько при постоянных переходах между умножением и делением, так как деление есть завуалированное, «изменённое» умножение. Все логические операции, подкрепляемые практической деятельностью, должны быть хорошо продуманы. Результатом работы будут таблицы умножения и деления:

По 2*2=4 4:по 2 =2

2*3=6 6:по 2=3

2*4=8 8:по 2=4 и т.д.

Таблица умножения строится по постоянному 1множителю, а таблица деления- по постоянному делителю. Изучение деления на равные части вводится после изучения умножения и деления на 2. Даётся задача: «Четыре ученика принесли по 2 тетради. Сколько всего тетрадей принесли?» выполняя практическое действие, мы собираем тетради (по 2 тетради взять 4раза). Составим обратную задачу: «8 тетрадей раздали по 2 тетради каждому ученику». Получится 4. Запись появляется по 2т.*4=8т., 8т.: по 2т.=4уч. На первых порах полезно подробно записывать наименования. Теперь составляем 3задачу: «8тетрадей надо раздать поровну 4ученикам. По сколько тетрадей достанется каждому?» вначале деление на равные части также следует демонстрировать на предметах. Стало быть, понятие «умножение» приобретает богатое содержание: оно не только результат сложения равных слагаемых («обобщение сложения»), но и основа, исходный момент деления, которое в свою очередь представляет свёрнутое вычитание, заменяющее последовательное «вычитание по 2». Очень удачно в этом случае построено объяснение в учебниках математики Л.Г.Петерсон и Н.Б.Истоминой. новое понятие вводится в обучение деятельностным методом, т.е. дети сами «открывают» его содержание, а учитель направляет их исследовательскую деятельность и знакомит с общепринятой терминологией и символикой. Вначале дети повторяют смысл умножения, составляют по рисунку произведение 2*4=8. Изучение действий деления мотивируется повседневной практической деятельностью детей. Учитель спрашивает, приходилось ли в жизни делить что-то поровну, и предлагает задачу: «Надо разделить 36конфет поровну на четверых. По сколько дать каждому?» затруднение, которое возникает в связи с ответом на вопрос задачи, мотивирует проведение исследования с помощью предметных моделей. У каждого на партах заготовлено 36 предметов (пуговиц, фигур, жетонов и т.д.). Их раскладывают на 4 равные по количеству кучки и т.д. Учитель показывает запись _- разделить на равные части- это значит найти число предметов в каждой части. Выполняя ряд упражнений, дети приходят к выводу, что операция деления обратна операции умножения. При делении орехов на 4 получается такое число 2, которое при умножении на 4 даёт нам 8. 8:4=2 2*4=8. О знаке детям можно сказать, что его используют в математике для обозначения предложений, выражающих одно и тоже (равносильное предложение). Выполняя упражнения на закрепление, дети выполняют рисунки и рисуют опорные схемы.

В конце урока делается вывод и проговариваются вслух и распространяются на общий случай деления- чтобы разделить число а на число в надо подобрать такое число с, которое при умножении на в даёт а:

А:В=С С*В=А и составляется опорный конспект. Важно донести до детей, что математические выражения, формулы позволяют выявить общие закономерности и установить аналогию совершенно различных на первый взгляд явлений. Осознание этого факта поможет учащимся в дальнейшем понять целесообразность математических обобщений, роль и место математики в системе наук.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ИЗУЧЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ МОУ СОШ №72 С УГЛУБЛЕЕНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ.

3.1. ОБОСНОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (ТЕХНОЛОГИЯ УДЕ).

В своей работе успешно применяю технологию укрупнения дидактических единиц (УДЕ), разработанную П.Т.Эрдниевым. автор более 30 лет назад выдвинул научное понятие «дидактическая единица». Его система укрупнения дидактических единиц в начальной школе вооружает школьников алгоритмом творческого освоения учебной информации. Эта технология актуальна и перспективна, так как обладает силой дальнодействия, закладывает в ребенке черты интеллекта, способствует становлению активной личности.

П.М.Эрдниев выделяет четыре основных способа укрупнения дидактических единиц:

1)совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций;

2)применение деформированных упражнений;

3)широкое использование метода обратной задачи;

4)усиление удельного веса творческих заданий.

Каждый из способов способствует актуализации резервов мышления. Первый способ - совместное изучение взаимосвязанных действий, операций- сложение- вычитание, умножение- деление. В первом классе, изучая первый десяток, дети знакомятся с примерами вида: 3+4=7 по технологии укрупнения дидактических единиц знакомлю с переместительным свойством сложения: 4+3=7 ответ одинаков, запись приобретает вид: 3+4= 7

Детям предлагаю примеры на вычитание, а запись имеет вид: 7 -3=4

4=3. Обобщаются и объединяются знания и записи сводятся вместе. Аналогично можно построить работу на умножение и деление. Например: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5

Дети приучаются различать противоположные понятия и операции при одновременном изучении сопряжённых действий. «Нервные привычки», по К.Д.Ушинскому, закрепляются у человека не отдельно, а парами, рядами, вереницами, группами. Такая подача материала создает условия для развития самостоятельности и инициативы детей.

Второй способ укрупнения дидактических единиц- метод деформированных упражнений, в которых искомым является не один, а несколько элементов. Например, в первом классе можно предложить задание, где нужно определить знак действия и неизвестный компонент:8 =2. В таких примерах ученик сначала подбирает знак действия на основе сравнения, а затем находит отсутствующий компонент. Решая такой пример, ребенок рассуждает так: 8 2, значит знак «минус».8 состоит из 2 и 6, значит пример 8-6=2. Так активизируется внимание, развивается мышление учащихся на основе решения логических цепочек.

Третий способ укрупнения дидактических единиц- решение прямой задачи и преобразование её в обратные и аналогичные. Решение задач в начальной школе имеет центральное значение для развития мышления учащихся: при решении дети знакомятся с зависимостью величин, с различными сторонами жизни, учатся думать, рассуждать, сравнивать. Обучая решению задач, необходимо учить детей составлять обратные задачи. В основе каждого способа лежит великий информационный закон живой природы - закон обратной связи. При работе над задачами выгодно пользоваться, когда в серии задач последующая отличается от предыдущей лишь каким-то одним элементом. В этом случае переход от одной задачи к другой облегчается, и информация, полученная при решении предыдущей задачи, помогает в поиске решения последующих задач. Особенно полезен этот приём слабым и медлительным детям. Например, задача на нахождение суммы, составим обратные ей задачи. «Отец дал Маше 11яблок, а мама добавила еще 5яблок. Сколько всего яблок дали Маше родители?»

1. Проводим анализ по вопросам: «Что известно в задаче? Что нужно узнать?» Запись задачи кратко. Как узнать, сколько яблок дали Маше родители? (12+5=17)
2. Составление обратной задачи, где неизвестным будет количество яблок, данных отцом. «Отец дал несколько яблок, а мама добавила ещё 5яблок. Всего у Маши стало 17яблок. Сколько яблок дал Маше отец?»
3. Можно составить ещё одну обратную задачу, где неизвестным будет количество яблок, данных Маше мамой. «Отец дал Маше 12яблок, а мама добавила ещё несколько яблок. Всего у Маши стало 17яблок. Сколько яблок дала мама Маше?» (17-12=5). В тетрадях ведём краткие записи по всем 3задачам. Взаимосвязанные задачи сливаются в группу родственных задач как крупную единицу усвоения и образуют три задачи. Итак, главная технологическая новизна системы укрупнения дидактических единиц заключается в наличии заданий, по которым школьник упражняется в самостоятельном составлении обратных задач на основе анализа условия прямой задачи, выявление логической цепи.

Четвертый способ укрупнения- усиление удельного веса творческих заданий. Например, дается задание с «окошком»: +7-50=20. Дети ищут ответ методом подбора, но можно решить это задание, рассуждая по стрелке, используя обратную операцию: 20+59-7=63. Искомое число 63. Творческие задания должны присутствовать на каждом уроке. С помощью таких упражнений ребёнок приучается к самостоятельному продолжению мысли, к перестройке суждения, что имеет решающее значение в последующем для составления активного, творческого ума человека, столь ценного в своем проявлении в любой сфере трудовой деятельности.

3.2.ОБ ОПЫТЕ ОЗНАКОМЛЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ.

Уже в 1классе учу детей самостоятельно устанавливать признаки, по которым можно сравнивать те или иные предметы. Учитель показывает детям 2гири разного цвета. «По каким признакам их можно сравнивать?» Дети дают ответ: «Их можно сравнивать по весу, высоте, по донышку». Что же можно сказать?- они неравны (по весу, высоте). Как это выразить точнее?- чёрная гиря тяжелее, больше, толще. Что значит тяжелее?- Тяжелее, больше по весу. Аналогичная работа при наводящих вопросах проводится и по отношению к другим признакам. Вместе с учителем устанавливаем, что тяжелее- это больше по весу, «длиннее»- это больше по длине(росту, высоте) и т.д. заключением этой работы было выяснение того, что если можно найти признак, по которому предметы сравниваются, то они будут либо равными, либо неравными. Это можно записать особыми знаками «=» и «=». Л.Г.Петерсон очень удачно сопоставляет эти понятия, а уже потом знаки уточняются -меньше или больше. Дети очень охотно решают эти неравенства. Выполняем и обратные задания - по знакам «меньше» или «больше» подбираются разные предметы. При этом сразу возникает своеобразная задача- определение понятий «слева направо»- 5 меньше 10. Кроме этого, удачно получается записывать не только числами, но и разными фигурами, линиями. В этот период на этой основе вводится буквенная форма записи. Работая с разного рода заданиями, необходимо дать детям понятие, что сами по себе буквы результата сравнения не записывают- нужен связующий их знак. И лишь вся формула говорит об этом результате- сравнение веса, длины 2х предметов и более.

Работа по данной теме имеет первостепенное значение для развёртывания всего начального раздела математики, так как по существу связана с построением в деятельности ребёнка системы отношений, выделяющих величины как основу дальнейших преобразований. Буквенные формулы, заменяющие ряд предварительных способов записи, впервые превращают эти отношения в абстракцию, ибо сами буквы обозначают любые конкретные значения любых конкретных величин, а вся формула- любые, возможные отношения равенства или неравенства этих значений. Теперь, опираясь на формулы, можно изучать собственные свойства выделенных отношений, превращая их в особый предмет анализа.

1. ДИАГНОСТИКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.

Значение диагностики велико, так как с её помощью устанавливается соответствие достижений ребенка обязательным требованиям к результатам обучения. Анализируя итоги, можно сделать выводы, какие изменения происходят с ребенком в процессе обучения, почему не удалось научить, что не учтено, как скорректировать процесс обучения, в какой помощи ученик нуждается. Инструментом диагностики могут служить тесты. По каждой содержательной линии в соответствии с обязательным минимумом содержания начального образования составляются тестовые задания, также широко представлены такие тесты в готовых печатных изданиях. Они помогают выявить пробелы в обучении. В своем классе были выявлены следующие проблемы в изучении элементов алгебры:

Часть учащихся испытывают некоторые затруднения при решении буквенных выражений (нахождение числового значения буквенного выражения при заданных значениях входящих в него букв);

При решении уравнений допускаются ошибки на использовании правил нахождения неизвестных компонентов (зависимость между компонентами сложения, вычитания, умножения и деления);

При проверке корней уравнения часть детей не просчитывают левую часть уравнения, а автоматически ставят знак равно;

При более сложной структуре уравнений вида X+10=30-7 или X+(45-17)=40 при преобразовании и упрощении уравнения некоторые дети теряют переменную, увлекаясь арифметическими вычислениями.

Получив данные тестов и проанализировав итоги, делаю для себя план работы для корректировки пробелов и недоработок.

Примерный тест для проверки знаний учащихся.

1. Дополни до 10 9, 5, 8, 4, 7, 0.
2. Впиши число в карточку: 8+5 17-9

8+2+ 17-7-

1. Догадайся, какое число надо записать в карточку:

3, 6, 9, 12, * А(13), В(15), С(18), Г(другое число)

1. Впиши в карточку такое число, чтобы равенство было верным:

9=17-* А(6), В(15), С(4), Г (другое число)

1. . 8+7=19-* А(3), В(15), С(4), Г(другое число).

6 Укажи верные равенства:

А) 12+1=11 В)14-5=9 С)17+3=20 Д)20-1=9 Е)18+2=20 Ж)8-5=13 З)6+9=15

7. Расположи выражения в порядке уменьшения их значений: А)7-5 В)7+6 С)3+7

8. Какими цифрами можно заменить *?

1)12 1* А(0, 1, 2) В(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) С(0, 1)

9. Где правильно расставлен порядок выполнения действий? А) 12-3+7 В) 19-9-5+3

10.Запиши числовые выражения и найди значения: из числа 12 вычесть сумму чисел 3 и 5

А) (3+5)-12 В) 12-3+5 С) 12-(3+5) Г) другое ответ:

Данный тест показывает, кто из детей недостаточно чётко усвоил нумерацию чисел второго десятка. Это дети, получившие меньше 18 баллов. С ними нужно проводить коррекционную работу, которая включает в себя все возможные случаи использования полученных знаний, где дети ориентируются в аналогичных упражнениях достаточно хорошо. Намечается план работы с родителями данных детей и оказывается консультация для тех родителей, кому это необходимо. В итоговой диагностике проверяются знания всего курса обучения за 1класс. Я провожу с ними ещё одну работу по проверке усвоения сложения и вычитания чисел в пределах 20, а потом и 100. Дети должны уметь выполнять действия с использованием изученных приёмов: находить неизвестный компонент сложения и вычитания, сравнивать числа и числовые выражения, уметь находить обратное действие. Что касается программ других авторов, то можно наблюдать, что раннее введение алгебраического материала вполне приемлемо для всех детей. Проработав разные программы, изучив методики преподавания разных авторов математики, я использую все нужные мне элементы из любого учебника, чтобы урок был более эффективным и продуктивным. Интересные упражнения, которые развивают мышление, логику, учат думать, изобретать, комбинировать включаю в каждый урок математики. Мои дети любимым предметом выбирают математику. Выявить пробелы в знаниях помогает использование тетрадей на печатной основе, проверочные тесты.

При изучении всех содержательных линий математики проводится постоянное отслеживание результатов обучения и ведется диагностику преподавания. Дети постоянно выполняют промежуточные тесты и проверочные работы, поэтому легко идет контроль за успеваемостью учащихся.

В начальной школе при безотметочном обучении (1-2кл.) использую следующие уровни и критерии сформированности знаний алгебраического материала: высокий уровень(20-25 баллов)- при таком уровне ребенок осознанно владеет изученным материалом, понятия по теме усвоены, умеет самостоятельно работать по теме, задания выполняет без ошибок;

средний уровень (14- 9 баллов)- тема усвоена, умеет ответить на косвенные вопросы, с помощью наводящих вопросов правильно отвечает по теме, допускает 1-2 ошибки, находит их и самостоятельно исправляет;

низкий уровень (менее 14 баллов)- допускает ошибки в большинстве заданий, отвечает на прямой вопрос учителя не всегда правильно, необходимы коррекционные упражнения и дополнительная индивидуальная работа.

Также при обработке диагностических работ провожу поэлементный анализ результатов теста: ошибки и причины их возникновения. При решении уравнений (в процессе поиска числа, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство) возможны и случаются следующие ошибки:

В выборе арифметического действия при нахождении неизвестного компонента (причина такой ошибки- неумение определить зависимость между компонентами или незнание данного материала);

Вычислительные ошибки (причины в использовании алгоритмов сложения, вычитания, умножении и деления, не проведен подробный анализ на каком-то этапе алгоритма).

При решении буквенных выражений при заданных значениях входящих в него букв допускаются следующие ошибки:

При использовании алгоритмов (конкретные вычислительные приёмы);

При конкретном выборе данного значения буквы (невнимательность, не проведен анализ соответствия данной букве определённого числа).

При сравнении чисел и числовых выражений ошибаются:

В постановке знаков больше и меньше (причина в незнании конкретных понятий, не проанализирован поразрядный и поклассовый состав чисел, незнание нумерации натуральных чисел, поместное значение цифр);

В арифметических вычислениях.

При нахождении значения составного числового выражения допускаются ошибки:

В порядке действий,

В неправильной записи компонентов действия (причина ошибок - не сумел определить структуру исходного выражения и соответственно применить необходимое правило, не знал алгоритма выполнения действий). При тщательном анализе результатов контроля знаний, умений, навыков учитель выявляет пробелы, ошибки в выполнениях, правильно можно спланировать дальнейшую работу по ликвидации недостатков в обучении.

Ниже привожу примеры тестов и диагностику проведённых срезов и проверок.

Номер теста	Формируемые умения и навыки
10-11	Счёт в пределах 20, 100. Таблица сложения и вычитания. Нахождение значения числового выражения в 2-4действия. Чтение, запись, сравнение в пределах 100. Название и обозначение действий сложения и вычитания. Решение задач в 1-2 действия. Умение сравнивать, классифицировать. Пространственные представления. Знание величин. Уровень сформированности базовых навыков и математического развития.

Результаты итоговой диагностики за 1 класс

10-11

уровень

Антонов А. Батраева Д. Башловкин Д. Белова В. Бобылёва Е. Габриелян Г. Гасникова М. Горошко А. Гузаева Е. Двугрошева М. Кондратьев Д. Константинов И. Копылов В. Михайлова В. Михайлова И. Морозова А. Подгорный И. Разин Н. Романов Д. Синицына К. Сулейманов Р. Сульёзнов А. Теплякова Ю. Фролов Д. Ширшаева К.

Низкий Низкий Средний Средний Высокий Средний Средний Высокий Высокий Низкий Высокий Высокий Высокий Высокий Средний Высокий Низкий Средний Средний Высокий Высокий Средний Средний Средний средний

Проверка уровня развития памяти

		слуховая	зрительная	моторная	Зрительно-слуховая
	Антонов А. Батраева Д. Башловкин Д. Белова В. Бобылёва Е. Габриелян Г. Гасникова М. Горошко А. Гузаева Е. Двугрошева М. Кондратьев Д. Константинов И. Копылов В. Михайлова В. Михайлова И. Морозова А. Подгорный И. Разин Н. Романов Д. Синицына К. Сулейманов Р. Сульёзнов А. Теплякова Ю. Фролов Д. Ширшаева К.	0, 4 средний 0,2 низкий 0,6 средний 0,8средний 1 высокий 0,7 средний 0,7 средний 1 высокий 1 высокий 0,5 низкий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,9 средний 1 высокий 0,4 низкий 0,7 средний 0,7 средний 1 высокий 1 высокий 0,7 средний 1 высокий 0,7 средний 0,6 средний	0,4 низкий 0,3 низкий 0,8 средний 0,9 средний 1 высокий 0,6 средний 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,4низкий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,4низкий 0,9средний 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,8средний 0,9средний 0,9 средний 0,8средний	0,8 средний 0,4 низкий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,9средний 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,8средний 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 1 высокий 0,5низкий 0,8средний 0,7 средний 1 высокий 0,9 средний 0,8средний 1 высокий 0,8средний 0,5низкий	0,7 средний 0,4 низкий 0,9 средний 0,9 средний высокий 0,8 средний 0,9 средний высокий высокий 0,5 низкий высокий высокий высокий высокий высокий высокий 0,4 низкий 0,9 средний 0,9 средний высокий высокий 0,8 средний 0,9 средний 0,8 средний 0,5 средний

С=а:N С- коэффициент памяти, при С=1 – оптимальный вариант- высокий уровень

С=0,7 +/-0,2 - средний уровень, С -меньше 0,5 –низкий уровень развития

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время возникли достаточно благоприятные условия для коренного улучшения постановки математического образования в начальной школе:

1. начальная школа из трехлетней преобразована в четырехлетнюю;
2. на изучение математики в первые четыре года выделяется часов, т.е. 40% всего времени, отводимого этому предмету за всю среднюю школу?
3. Учителями начальных классов работает с каждым годом все большее число лиц, имеющих высшее образование;
4. Возросли возможности лучшего обеспечения учителей и школьников учебно-наглядными пособиями, большая часть их выпускается в цветном изображении.

Нет необходимости доказывать решающую роль начального обучения математике для развития интеллекта ученика вообще. Богатство разнообразных ассоциаций, обретаемых школьником за первые четыре года обучения, при правильной постановке дела становится главным условием самонаращивания знаний в последующие годы. Если этот запас исходных представлений и понятий, ходов мыслей, основных логических приёмов будет неполон, негибок, обеднён, то при переходе в старшие классы школьники будут постоянно испытывать трудности, независимо от того, кто их будет учить дальше или по каким учебникам они будут учиться.

Как известно, начальная школа функционирует в нашей и других странах много веков, поэтому теория и практика начального обучения гораздо богаче своими традициями, чем обучение в старших классах.

Драгоценные методические находки и обобщения по начальному обучению математике были сделаны ещё Л.Н.Толстым, К.Д.Ушинским, В.А.Латышевым и другими методистами уже в прошлом веке. Значительные результаты были получены в последние десятилетия по методике начальной математики в лабораториях Л.В.Занкова, А.С.Пчелко, а также в исследованиях по укрупнению дидактических единиц.

При разумном учёте наличных научных результатов, полученных в последние 20 лет по методике начального обучения различными творческими коллективами, сейчас имеется полная возможность добиться в начальной школе «учения с увлечением». В частности, знакомство учащихся с базовым алгебраическими понятиями, несомненно, положительно скажется на освоении учащимися соответствующих знаний в старших классах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах./под ред. М.И.Моро, А.М.Пышкало. -М.: Педагогика, 1977.
2. И.И.Аргинская, Е.А.Ивановская. Математика: Учебник для 1,2,3,4 класса четырехлетней начальной школы.- Самара: Изд. дом «Федоров», 2000.
3. М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова. Методика преподавания математики в начальных классах.- М.: Педагогика,1984.
4. П.М.Эрдниев. Укрупненные знания как условие радостного обучения./ Начальная школа.- 1999 №11, с.4-11.
5. В.В.Давыдов. Психическое развитие в младшем школьном возрасте./ Под ред. А.В.Петровского.- М.: Педагогика, 1973.
6. А.З.Зак. Развитие умственных способностей младших школьников.
7. И.М.Доронина. Использование методики УДЕ на уроках математики. //Начальная школа.-2000, №11, с.29-30.
8. Н.Б.Истомина. Методика обучения математике в начальных классах.- М.: Издательский центр «Академия», 1998.
9. М.И.Волошкина. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики.//Начальная школа-1992 №10.
10. В.Ф.Коган. О свойствах математических понятий. -М. : Наука, 1984.
11. Г.А.Пентегова. Развитие логического мышления на уроках математики. //Начальная школа.-2000.-№11.
12. А.Н.Колмогоров. О профессии математика. М.-Педагогика. 1962.
13. М.И.Моро, А.М.Пышкало. Методика обучения математике в начальной школе.- М.Педагогика,1980 .
14. Л.Г. Петерсон. Математика 1-4классы.-Методические рекомендации для учителя -М.: «Баллас»,2005.
15. Диагностика результатов образовательного процесса в 4-летней начальной школе: Учебно-методическое пособие /Под ред. Калининой Н.В./ Ульяновск: УИПКПРО, 2002.
16. Самостоятельные и контрольные работы для начальной школы (-4). М.-«Баллас»,2005.
17. Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. СП-б.: Изд-во «Питер»,1999.
18. А.В. Сергеенко. Преподавание математики за рубежом.- М.: Академия, 1998.
19. Стойлова Л.П. Математика. М.- Академия, 2000.
20. У.У.Сойер Прелюдия к математике, М.-Просвещение.1982.
21. Тесты: Начальная школа.1,2,3,4кл.: Учебно-методическое пособие/Л.М.Зеленина, Т.Е.Хохлова, М.Н.Быстрова и др.-2-е изд., стереотип.- М.:Дрофа,2004.

Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала.

Лекция 7. Понятие периметра многоугольника

1. Методика рассмотрения элементов алгебры.

2. Числовые равенства и неравенства.

3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.

4. Неравенства с переменной.

5. Уравнение

1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на базе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины ʼʼматематическое выражениеʼʼ и ʼʼзначение математического выраженияʼʼ (без определœений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителœем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Далее формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определœенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на ʼʼверныеʼʼ и ʼʼневерныеʼʼ. Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни базе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, к примеру: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и делœение, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Далее вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях нужно сначала выполнить по порядку действия умножения и делœения, а затем сложение и вычитание, к примеру: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в крайне важно сти соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Οʜᴎ включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий исходя из изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и делœения и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .

Так, в 1 классе, где ещё термины ʼʼравенствоʼʼ и ʼʼнеравенствоʼʼ не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: ʼʼКоля прибавил к шести восœемь и получил 15. Верное это решение или неверное?ʼʼ, или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: ʼʼВерны ли эти записи?ʼʼ, а после введения неравенства – ʼʼВерны ли эти неравенства?ʼʼ.

Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на базе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). К примеру, на базе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с ʼʼцепочкойʼʼ равенств.

Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Лекция 8. Методика изучения алгебраического материала." 2017, 2018.

В «Обязательном минимуме содержания начального образования» по образовательной области «Математика» изучение алгебраического материала, как это было ранее, не выделено в качестве отдельной дидактической единицы подлежащей обязательному изучению. В данной части документа кратко отмечено, что необходимо «дать знания о числовых и буквенных выражениях, их значениях и различиях между этими выражениями». В «Требованиях к качеству подготовки выпускников» можно лишь найти короткую фразу неопределенного смысла «научить вычислять неизвестный компонент арифметического действия». Вопрос о том, как научить «вычислять неизвестный компонент» должен решать автор программы или технологии обучения.

Рассмотрим, как характеризуются понятия «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и какова методика их изучения в различных методическихсистемах обучения

7.1. Выражения и их виды …
в курсе математики

начальной школы

Выражением называют математическую запись, состоящую из чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных знаками арифметических действий. Отдельно взятое число есть также выражение. Выражение, в котором все числа обозначены цифрами, называют числовым выражением .

Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получим число, которое называют значением выражения.

Выражения можно классифицировать по числу арифметических действий, которые используются при записи выражений, и по способу обозначения чисел. По первому основанию выражения разбиваются на группы: элементарных (не содержащих знака арифметического действия), простых (один знак арифметического действия) и составных (более одного знака арифметических действий) выражений. По второму основанию различают числовые (числа записаны цифрами) и буквенные (хотя бы одно число или все числа обозначены буквами) выражения.

Математическую запись, которую в математике принято называть выражением, необходимо отличать от других видов записей.

Примером или вычислительным упражнением называют запись выражения вместе с требованием к его вычислению.

5+3 выражение, 8- его значение

5+3= вычислительное упражнение (пример),

8- результат вычислительного упражнения (примера)

В зависимости от знака арифметического действия, который используется в записи простого выражения, простые выражения разбивают на группы выражений со знаком «+,», «-», « », «:». Эти выражения имеют особые названия (2 + 3 — сумма; 7 — 4 – разность; 7 × 2 – произведение; 6: 3 — частное) и общепринятые способы чтения, с которыми знакомятся учащиеся начальной школы.

Способы чтения выражений со знаком «+»:

25+17 – 25 плюс 17

25+17 – к 25-ти прибавить 17

25+17 – 25 да 17

25+17 – 25 и еще 17.

25+17 – сумма чисел двадцать пять и семнадцать (сумма 25-ти и 17-ти)

25+17 – 25 увеличить на 17

25+17 – 1-ое слагаемое 25, 2-ое слагаемое 17

С записью простых выражений дети знакомятся по мере того, как вводится соответствующее математическое действие. Например, знакомство с действием сложения сопровождается записью выражения на сложение 2 + 1, здесь же даются образцы первых форм чтения этих выражений: «к двум прибавить один», «два и один», «два да один», «два плюс один». Другие формулировки вводятся по мере знакомства детей с соответствующими понятиями. Изучая название компонентов действий и их результатов, дети учатся читать выражение, используя эти названия (первое слагаемое 25, второе 17 или сумма 25-ти и 17-ти). Знакомство с понятиями «увеличить на…», «уменьшить на…» позволяет ввести новую формулировку для чтения выражений на сложение и вычитание с этими терминами «двадцать пять увеличить на семнадцать», «двадцать пять уменьшить на семнадцать». Так же поступают с остальными видами простых выражений.

С понятиями «выражение», «значение выражения» в ряде образовательных систем («Школа России» и «Гармония») дети знакомятся несколько позже, чем научатся их записывать, вычислять и читать не всеми, но многими формулировками. В других программах и системах обучения (система Л.В. Занкова, «Школа 2000…», «Школа 2100») эти математические записи сразу называют выражениями и используют это слово в вычислительных заданиях.

Обучая детей читать выражения различными формулировками, мы вводим их в мир математических терминов, даем возможность познать математический язык, отрабатываем смысл математических отношений, что, несомненно, повышает математическую культуру ученика, способствует осознанному усвоению многих математических понятий.

Ø Прием «делай как я». Правильная речь учителя, за которым дети повторяют формулировки, — основа грамотной математической речи школьников. Значительный эффект дает использование приема сравнения формулировок, которые произносят дети, с заданным образцом. Полезно использовать прием, когда учитель специально допускает речевые ошибки, а дети его исправляют.

Ø Дать несколько выражений и предложить прочитать эти выражения разными способами. Один ученик читает выражение, а другие проверяют. Полезно давать столько выражений, сколько формулировок знают дети к этому времени.

Ø Учитель диктует выражения разными способами, а дети записывают сами выражения, не вычисляя их значения. Такие задания направлены на то, чтобы проверить знание детьми математической терминологии, а именно: умение записывать выражения или вычислительные упражнения, прочтенные разными математическими формулировками.

Если ставится задача, предусматривающая проверку сформированности вычислительного навыка полезно читать выражения или вычислительные упражнения только теми формулировками, которые хорошо усвоены, не заботясь об их разнообразии, а детям предложить записывать только результаты вычислений, сами выражения можно не записывать.

Выражение, состоящее из нескольких простых, называют составным.

Следовательно, существенным признаком составного выражения является его составленность из простых выражений. Знакомство с составным выражением можно осуществить по следующему плану:

1. Дать простое выражение и вычислить его значение

(7 + 2 = 9), назвать его первым или данным.

2. Составить второе выражение так, чтобы значение первого стало компонентом второго (9 — 3), назвать это выражение продолжением для первого. Вычислить значение второго выражения(9 – 3 = 6).

3. Проиллюстрировать процесс слияния первого и второго выражений, опираясь на пособие.

Пособие представляет собой прямоугольный лист бумаги, который разделен на 5 частей и сложен в виде гармошки. На каждой части пособия имеются определенные записи:

7 + 2

=

— 3

= 6

Скрывая вторую и третью части данного пособия (из первого выражения скрываем требование к его вычислению и его значение, а во втором скрываем ответ на вопрос первого), получаем составное выражение и его значение (7 + 2 -3 = 6). Даем ему название – составное (составлено из других).

Иллюстрируем процесс слияния других пар выражений или вычислительных упражнений, подчеркивая:

ü объединить в составное можно лишь такую пару выражений, когда значение одного из них является компонентом другого;

ü значение выражения продолжения совпадает со значением составного выражения.

Закрепляя понятие составного выражения полезно выполнять задания двух видов.

1 вид. Дана совокупность простых выражений, необходимо выделить из них пары, для которых верно отношение «значение одного из них является компонентом другого». Составить из каждой пары простых выражений одно составное выражение.

2 вид. Дано составное выражение. Необходимо записать простые выражения, из которых оно составлено.

Описанный прием полезно использовать по нескольким причинам:

§ по аналогии можно ввести понятие составной задачи;

§ ярче выделяется существенный признак составного выражения;

§ предупреждаются ошибки при вычислении значений составных выражений;

§ данный прием позволяет проиллюстрировать роль скобок в составных выражениях.

Составные выражения, содержащие знаки «+», «-» и скобки, изучаются с первого класса. В некоторых системах обучения («Школа России», «Гармония», «Школа 2000») не предусматривается изучение скобок в первом классе. Их вводят во втором классе при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство суммы). Скобки вводятся как знаки, с помощью которых в математике можно показать порядок выполнения действий в выражениях содержащих более одного действия. В дальнейшем дети знакомятся с составными выражениями, содержащими действия первой и второй ступеней со скобками и без них. Изучение составных выражений сопровождается изучением правил порядка действий в этих выражениях и способов чтения составных выражений.

Значительное внимание во всех программах уделяется преобразованию выражений, которые осуществляются на основании сочетательного свойства суммы и произведения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, умножения суммы на число и деления суммы на число. На наш взгляд, в отдельных программах, недостаточно упражнений направленных на формирование умения читать составные выражения, что, естественно, позже сказывается на умении решать уравнения вторым способом (см. ниже). В последних изданиях учебно-методических комплексов по математике для начальных классов по всем программам большое внимание уделяется заданиям на составление программ и алгоритмов вычислений для составных выражений в три — девять действий.

Выражения , в которых одно число или все числа обозначены буквами, называютбуквенными (а + 6; (а +в )×с – буквенные выражения). Пропедевтикой к введению буквенных выражений являются выражения, где одно из чисел заменяется точками или пустым квадратом. Называют эту запись выражением «с окошком» (+4 – выражение с окошком).

Типичными заданиями, содержащими буквенные выражения, являются задания на нахождение значений выражений при условии, что буква принимает различные значения из заданного перечня значений. (Вычисли значения выражений а + в и а — в , если а = 42, в = 90 или а = 100, в = 230). Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляют в выражения и далее работают как с числовыми выражениями.

Буквенные выражения могут использоваться для введения обобщенных записей свойств арифметических действий, формируют представления о возможности переменных значений компонентов действий и позволяют подвести детей к центральному математическому понятию «переменная величина». Кроме того, с помощью буквенных выражений дети осознают свойства существования значений суммы, разности, произведения, частного на множестве целых неотрицательных чисел. Так, в выражении а + в при любых значениях переменных а и в можно вычислить значение суммы, а значение выражения а — в , на указанном множестве можно вычислить только в том случае, если в меньше или равно а . Анализируя задания, направленные на установление возможных ограничений для значений а и в в выражениях а в и а : в , дети устанавливают свойства существования значения произведения и значения частного в адаптированном к возрасту виде.

Буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий. Обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом для формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием, что, несомненно, повышает возможности математики в развитии и формировании абстрактных форм мышления.

7.2. Изучение равенств и неравенств в курсе

математики начальных классов

Сравнение чисел и/или выражений приводит к появлению новых математических понятий «равенство» и «неравенство».

Равенством называют запись, содержащую два выражения соединенные знаком «=» — равно (3 = 1 + 2; 8 + 2 =7 + 3 — равенства).

Неравенством называют запись, содержащую два выражения и знак сравнения, указывающий на отношения «больше» или «меньше» между данными выражениями

(3 < 5; 2+4 > 2+3 — неравенства).

Равенства и неравенства бывают верными и неверными . Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным. Соответственно: если в записи неравенства знак сравнения правильно указывает на отношения между числами (элементарными выражениями) или значениями выражений, то неравенство верно, в противном случае, неравенство неверно.

Большинство заданий в математике связано с вычислением значений выражений. Если значение выражения найдено, то выражение и его значение можно соединить знаком «равно», что принято записывать в виде равенства: 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным.

С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение» в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2 + 1 = 3 и 4 – 1 = 3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее с этим понятием связано изучение практически каждой темы в курсе математики начальной школы.

Вопрос о введении понятий «верное» и «неверное» равенства в различных программах решается неоднозначно. В системе «Школа 2000…» это понятие вводят одновременно с записью равенства, в системе «Школа России» — при изучении темы «Состав однозначных чисел» в записях равенств «с окошком» (+3 = 5; 3 + = 5). Подбирая число, которое можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел или другой вычислительный материал по теме урока, с другой, формируют представление о переменной величине и являются подготовкой к усвоению понятия «уравнение».

Во всех программах наиболее часто используются два вида заданий, связанных с понятиями равенства и неравенства, верные и неверные равенства и неравенства:

· Даны числа или выражения, нужно между ними поставить знак так, чтобы запись была верной. Например, «Поставь знаки: «<», «>», «=» 7-5 … 7-3; 6+4 … 6+3».

· Даны записи со знаком сравнения, надо подставить вместо окошка такие числа, чтобы получилось верное равенство или неравенство. Например, «Подбери числа так, чтобы записи были верными: > ; или +2 < +3».

Если сравниваются два числа, то выбор знака дети обосновывают, опираясь на принцип построения ряда натуральных чисел, значность числа или его состав. Сравнивая два числовых выражения или выражение с числом, дети вычисляют значения выражений, а затем сравнивают их значения, т. е. сводят сравнение выражений к сравнению чисел. В образовательной системе «Школа России» этот способ дается в виде правила: «Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения». Этот же набор действий дети выполняют для проверки правильности выполненного сравнения. «Проверь, верны ли неравенства:

42 + 6 > 47; 47 — 5 > 47 — 4».

Наибольший развивающий эффект имеют задания, требующие поставить знак сравнения (или проверить верно ли поставлен знак сравнения) не вычисляя значений выражений данных в левой и правой частях неравенства (равенства). В этом случае дети должны поставить знак сравнения, опираясь на выявленные математические закономерности.

Форма предъявления задания и способы оформления его выполнения варьируется как в рамках одной программы, так и в различных программах.

Традиционно при решении неравенств с переменной использовалось два способа: способ подбора и способ сведения к равенству.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности выбора. Для этого в заданное неравенство вместо неизвестного числа подставляется найденное значение. Вычисляется значение левой и правой части неравенства (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом), а затем, сравнивается значение левой и правой части полученного неравенства. Все эти действия могут выполняться устно или с записью промежуточных вычислений.

Второй способ заключается в том, что в записи неравенства вместо знака «<» или «>» ставят знак равенства и решают равенство известным детям способом. Затем, проводятся рассуждения, при которых используются знания детей об изменении результата действия в зависимости от изменения одного из его компонентов и определяются допустимые значения переменной.

Например, «Определи, какие значения может принимать а в неравенстве 12 — а < 7». Решение и образец рассуждений:

· Найдем значение а , если 12 – а = 7

· Вычисляю, применяя правило нахождения неизвестного вычитаемого: а = 12 — 7, а = 5.

· Уточняю ответ: при а равном 5-ти («корень уравнения равен 5-ти» в системе Занкова и «Школа 2000…») значение выражения 12 — 5 равно 7, а нам нужно найти такие значения этого выражения, которые бы были меньше 7-ми, значит надо из 12 вычитать числа большие пяти. Это могут быть числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.(чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньше значение разности). Значит, а = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значения большие 12-ти переменная а принимать не может, так как большее число из меньшего вычитать нельзя (мы не умеем, если не вводятся отрицательные числа).

Пример подобного задания из учебника 3 класса (1-4), авторы: И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская :

№ 224. «Реши неравенства, используя решение соответствующих уравнений:

к — 37 < 29, 75 — с > 48, а + 44 < 91.

Проверь свои решения: подставь в каждое неравенство несколько чисел, больших и меньших корня соответствующего уравнения.

Составь свои неравенства с неизвестными числами, реши их и проверь найденные решения.

Предложи свое продолжение задания».

Надо отметить, что ряд технологий и программ обучения, усиливая логическую составляющую и значительно превышая стандартные требования к содержанию математического образования в начальных классах, вводят понятия:

Ø переменная величина, значение переменной;

Ø понятие «высказывание» (верные и неверные утверждения называют высказыванием (М3П) ), «истинные и ложные высказывания»;

Ø рассматривают системы уравнений (И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская).

7.3. Изучение уравнений в курсе математики

начальных классов

Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением. Решить уравнение — значит, найти такое значение переменной величины (неизвестного числа), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения.

В некоторых образовательных системах («Школа России» и «Гармония») введение понятия «переменной» не предусматривается. В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число. И далее, решить уравнение, значит, найти такое число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения.

В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают два способа решения уравнений.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения осуществляется проверка правильности решения. Сущность проверки вытекает из определения уравнения и сводится к выполнению четырех взаимосвязанных действий:

1. В заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение.

2. Вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом).

3. Сравнивается значение левой и правой части полученного равенства.

4. Делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения.

На первых порах выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения.

Ряд систем обучения («Школа 2000», система обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова) для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым.

8 + х =10; 8 и х — части; 10 – целое. Чтобы найти часть можно из целого вычесть известную часть: х = 10 — 8; х = 2.

В этих системах обучения, еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней».

Второй способ решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так:

Задание: Реши уравнение 8 + х = 11.

В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое нужно из значения суммы вычесть первое слагаемое. Значит, надо из 11 вычесть 8. Записываю: х = 11 – 8. Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу х = 3.

Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид:

8 + х = 11

х = 11 — 8

х = 3

Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В этом случае нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Рассмотрим следующее задание.

Реши уравнение (х + 2) : 3 = 8.

В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел х и 2. (В соответствии с правилами порядка действий в выражении, действие деления выполняют последним).

Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: х + 2 = 8 × 3

Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: х + 2 = 24.

Полная запись имеет вид: (х + 2) : 3 = 8

х + 2 = 8 × 3

х + 2 = 24

х = 24 — 2

Проверка: (22 + 2) : 3 = 8

В образовательной системе «Школа 2000…» в связи с широким использованием алгоритмов и их видов дается алгоритм (блок – схема) решения таких уравнений (см. схему 3).

Второй способ решения уравнений достаточно громоздкий, особенно для составных уравнений, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия применяется многократно. В связи с этим, многие авторы программ (системы «Школа России», «Гармония») совсем не включают в программу начальных классов знакомство с уравнениями сложной структуры либо вводят их в конце четвертого класса.

В данных системах в основном ограничиваются изучением уравнений следующих видов:

х + 2 = 6; 5 + х = 8 — уравнения на нахождение неизвестного слагаемого;

х – 2 = 6; 5 – х = 3 — уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого соответственно;

х × 5 = 20, 5 × х = 35 — уравнения на нахождение неизвестного множителя;

х : 3 = 8, 6: х = 2 — уравнения на нахождение неизвестного делимого и делителя соответственно.

х × 3 = 45 — 21; х × (63 — 58) = 20; (58 — 40) : х = (2 × 3) — уравнения, где одно или два числа, входящих в уравнение, представлено числовым выражением. Способ решения этих уравнений сводится к вычислению значений этих выражений, после чего уравнение принимает вид одного из простых уравнений выше указанных видов.

Ряд программ обучения математике в начальных классах (образовательная система Л.В. Занкова и «Школа 2000…») практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию одной из частей уравнения на основе свойств математических действий. Например, в этих программах учащимся в третьем классе для решения предлагаются такие уравнения:

3× х — (20 + х ) = 70 или 2 × х – 8 + 5 × х = 97.

В математике существует и третий способ решения уравнений, который опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному».

Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение равносильное данному.

Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения, равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них.

Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе обучения Л.В. Занкова и в старших классах.

В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий :

· на выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных;

· на сравнение уравнений и способов их решений;

· на составление уравнений по заданным числам;

· на изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше (меньше), чем первоначально найденное значение;

· на подбор известного числа в уравнении;

· на составление алгоритмов решения с опорой на блок-схемы решения уравнений или без них;

· составление уравнений по текстам задач.

Следует заметить, что в современных учебниках наблюдается тенденция к введению материала на понятийном уровне. Например, каждому из выше названных понятий дается развернутое определение, отражающее его существенные признаки. Однако не все встречающиеся определения отвечают требованиям принципа научности. Например, понятие «выражение» в одном из учебников математики для начальных классов трактуется так: «Математическая запись из арифметических действий, не содержащая знаков больше, меньше или равно называется выражением» (образовательная система «Школа 2000»). Заметим, что в данном случае определение составлено неверно, так как в нем описано то, чего в записи нет, но неизвестно, что там есть. Это довольно типичная неточность, которую допускают в определении.

Заметим, что определения понятиям даются не сразу, т.е. не при первичном знакомстве, а в отсроченном времени, после того как дети познакомились с соответствующей математической записью и научились ею оперировать. Определения даются чаще всего в неявном виде, описательно.

Для справки : В математике встречаются как явные, так и неявные определения понятий. Среди явных определений наиболее распространены определения через ближайший род и видовое отличие . (Уравнение – это равенство, содержащее переменную величину.). Неявные определения можно разделить на два вида: контекстуальные и остенсивные . В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации.

Например: 3 + х = 9. х — неизвестное число, которое надо найти.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения еще называют определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начальных классах понятия равенства и неравенства.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

неравенства равенства

7.4. Порядок выполнения действий в выражениях

Наши наблюдения и анализ ученических работ показывает, что изучение данной содержательной линии сопровождается следующими видами ошибок школьников:

· Не могут правильно применить правило порядка действий;

· Неверно отбирают числа для выполнения действия.

Например, в выражении 62 + 30: (18 — 3) выполняют действия в следующем порядке:

62 + 30 = 92 или так: 18 – 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Опираясь на данные о типичных ошибках, возникающих у школьников можно выделить два основных действия, которые следует формировать в процессе изучения данной содержательной линии:

1) действие по определению порядка выполнения арифметических действий в числовом выражении;

2) действие по отбору чисел для вычисления значений промежуточных математических действий.

В курсе математики начальных классов традиционно правила порядка действий формулируются в следующем виде.

Правило 1 . В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Правило 3 . В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Каждое из данных правил ориентировано на определенный вид выражений:

1) выражения без скобок, содержащие только действия одной ступени;

2) выражения без скобок, содержащие действия первой и второй ступени;

3) выражения со скобками, содержащие действия, как первой, так и второй ступени.

При такой логике введения правил и последовательности их изучения выше названные действия будут состоять из ниже перечисленных операций, овладение которыми и обеспечивает усвоение данного материала:

§ распознать структуру выражения и назвать, к какому типу оно относится;

§ соотнести данное выражение с правилом, которым надо руководствоваться при вычислении его значения;

§ установить порядок действий в соответствии с правилом;

§ правильно отобрать числа для выполнения очередного действия;

§ выполнить вычисления.

Данные правила вводятся в третьем классе как обобщение для определения порядка действий в выражениях различной структуры. Нужно заметить, что до знакомства с этими правилами дети уже встречались с выражениями со скобками. В первом и втором классах при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство сложения, распределительное свойство умножения и деления), умеют вычислять значения выражений, содержащих действия одной ступени, т.е. им знакомо правило № 1. Поскольку вводится три правила, отражающие порядок действий в выражениях трех видов, то необходимо, прежде всего, научить детей выделять различные выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориентировано каждое правило.

В образовательной системе «Гармония » основную роль в изучении этой темы играет система целесообразно подобранных упражнений, через выполнение которых дети усваивают общий способ определения порядка действий в выражениях разной структуры. Нужно заметить, что автор программы по математике в данной системе очень логично выстраивает методику введения правил порядка действий, последовательно предлагает детям упражнения для отработки операций, входящих в состав выше названных действий. Чаще всего встречаются задания:

ü на сравнение выражений и последующее выявление в них признаков сходства и различия (признак сходства отражает тип выражения, с точки зрения его ориентации на правило);

ü на классификацию выражений по заданному признаку;

ü на выбор выражений с заданными характеристиками;

ü на конструирование выражений по заданному правилу (условию);

ü на применение правила в различных моделях выражений (символической, схематической, графической);

ü на составление плана или блок-схемы порядка выполнения действий;

ü на постановку скобок в выражении при заданном его значении;

ü на определение порядка действий в выражении при вычисленном его значении.

В системах «Школа 2000…» и «Начальная школа ХХI века» предлагается несколько другой подход к изучению порядка действий в составных выражениях. При этом подходе основное внимание уделяется пониманию учащимися структуры выражения. Важнейшим учебным действием при этом является выделение в составном выражении нескольких частей (разбиение выражения на части). В процессе вычисления значений составных выражений учащиеся пользуются рабочими правилами :

1. Если выражение содержит скобки, то его разбивают на части так, чтобы одна часть с другой были соединены действиями первой ступени (знаками «плюс» и «минус»), не заключенными в скобки, находят значение каждой части, а затем действия первой ступени выполняют по порядку – слева направо.

2. Если в выражении нет действий первой ступени, не заключенных в скобки, но есть действия умножения и деления, не заключенные в скобки, то выражение разбивают на части, ориентируясь на эти знаки.

Эти правила позволяют производить вычисление значений выражений, содержащих большое число арифметических действий.

Рассмотрим пример.

Знаками плюс и минус, не заключенными в скобки, разобьем выражение на части: от начала до первого знака (минус), не заключенного в скобки, затем от этого знака до следующего (плюс) и от знака плюс до конца.

3 · 40 — 20 · (60 — 55) + 81: (36: 4)

Получилось три части:

1 часть — 3 40

2 часть — 20 · (60 — 55)

и 3 часть 81: (36: 4).

Находим значение каждой части:

1) 3 · 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 · 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Ответ: значение выражения 29.

Цель семинаров по данной содержательной линии

· реферировать и рецензировать статьи (пособия) дидактического, педагогического и психологического содержания;

· составлять картотеку к докладу, для изучения конкретной темы;

· выполнять логико-дидактический анализ школьных учебников, учебных комплектов, а также анализ реализации в учебниках определенной математической идеи, линии;

· подбирать задания для обучения понятиям, обоснованию математических утверждений, формированию правила или построению алгоритма.

Задания для самоподготовки

Тема занятия . Характеристика понятий «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и методика их изучения в различных методических